梯形问题中如何添加辅助线襄阳市第二十八中学米伶俐用简单的，已知的图形去探索较复杂的，未知的图形，是我们学习平面几何的重要与基本的方法。大多数梯形问题都需要添加辅助线。总的来说，梯形问题就是通过添加辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后把问题放在平行四边形和三角形中来解决。下面简单介绍一下梯形常见的辅助线添加方法。一、平移梯形的腰1.平移一腰，把两腰和上底、下底的差放在一个三角形中。例1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，∠C=70°，∠B=40°，则AB的长为________。解析：过点Ａ作AE∥DC,交BC于点E，得平行四边形AECD和△ABE，这样，上下底之差和同一底上的两个角就集中在一个三角形内，从而求解。解：过点A作AE∥DC，交BC于点E，得平行四边形AECD和△ABE。∵AE∥DC∴∠AEB=∠C=70°又∵∠B=40°∴∠BAE=70°∴△BAE为等腰三角形∴AB=BE=BC-CE=BC-AD=4-1=32.同时平移两腰，构建新的特殊三角形。例2：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,E、F分别为AD、BC的中点，若∠B+∠C=AD=7,BC=15，求EF的长。解析：已知条件中有同一底上的两个角∠B+∠C=90°，充分利用这一条件，把它放在一个三角形中，构成直角三角形，而EF恰为直角三角形的中线，可以利用直角三角形斜边上中线等于斜边长度的一半求出EF的长。解：过E作EG∥AB，EH∥DC，分别交BC于G、H，得平行四边形ABGE和平行四边形DCHE。∵∠B+∠C=90°∴∠EGH+∠EHG=90°∴△EGH为Rt△，∵E、F分别为AD、BC的中点∴GF=FH即F为Rt△EGH斜边上的中点∵GH=BC-AD=15-7=8∴EF=GH=4小结：只要已知梯形中两腰、两底的长，同一底上的两个角大小等这些条件，加上平移一腰或两腰后构成的三角形是等腰、等边或者直角三角形这些条件，就可以把梯形问题转化为三角形问题。二、平移对角线过梯形的上底的一个端点作一对角线的平行线，交另一底的延长线上，得平行四边形和三角形，再利用平行四边形和三角形的有关性质解题。例3：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，AC=6，BD=8，求梯形ABC的高。解：设梯形ABCD的高为h，过D点作DE∥AC，交BC的延长线于E，得平行四边形ADEC∴DE=AC=6∵AC⊥BD，DE∥AC∴∠BDE=90°在Rt△BDE中，BD=8，DE=6，∴BE=10∵BD·DE=BE·h即8×6=10h∴h=4.8即梯形ABCD的高为4.8小结：在梯形问题中，只要有两条对角线的大小和位置关系的条件，就用平移一条对角线的办法，把两条对角线、上下底之和放在一个三角形中，就会出现等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形等特殊三角形，就可以利用特殊三角形的性质来解决此类问题。三、过梯形一腰中点构造全等三角形找出一腰中点，连接顶点和这个中点并延长，与底边延长线相交，构造全等三角形。例4：如图④，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中点，求证：CE⊥BE。证明：延长CE交BA的延长线于点M∵E是AD的中点∴AE=DE又∵∠BAE=∠CDE=∠MAE=90°∠MEA=∠CED∴△MAE≌△CDE∴ME=CEAM=DC∴BM=AB+AM=2+1=3又∵BC=3∴△BCM为等腰△又∵ME=CE∴BE⊥CM即CE⊥BE小结：在梯形中，只要有腰上的中点，采用过中点构造全等三角形，从而把上下底之和与另一条腰集中在一个三角形中，而这个三角形又是一个特殊三角形，问题就简单了。四、作梯形的高过梯形较短的底的两端点向另一底所在直线作垂线，把梯形分割成两个直角三角形和一个矩形。例5：在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，若AD=5，CD=2，AB=8，求梯形ABCD的面积。解析：通过作高DE、CF，把这个梯形分割成两个全等的直角三角形和一个矩形，从而求出AE=3，利用勾股定理可以得出DE=4，也就是梯形的高，这道题就迎刃而解了。本题解法省略。另外，我们还可以采用延长梯形的两腰，构建两个三角形的方法解决一些实际问题。总之，通过添加梯形的辅助线，我们就能化繁为简，轻松解决很多梯形问题。作者联系方式：米伶俐襄阳市第二十八中学邮编441058电话15971061262
