推理案例赏析教学目标（1）了解推理方式中合情推理和演绎推理的区别和联系；（2）通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系．教学重点，难点合情推理和演绎推理的区别和联系．教学过程一．问题情境在前两节中，我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察．那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的？三．数学运用1．例题：例1．正整数平方和公式的推导．提出问题我们知道，前个正整数的和为，…①那么，前个正整数的平方和…②数学活动思路1（归纳的方案）如下表1-1所示，列举出的前几项，希望从中归纳出一般的结论．(表1-1)123456…1514305591…但是，从表1-1的数据中并没有发现明显的关系．这时我们可能会产生一个念头：与会不会有某种联系？如下表1-2所示，进一步列举出的值，比较与，希望能有所发现．(表1-2)123456…136101521…用心爱心专心1514305591…观察与的相应数据，并没有发现明显的联系．怎么办呢？尝试计算．终于在计算和的比时，发现“规律”了（表1-3）．123456…136101521…1514305591……从表1-3中发现，于是猜想．…③公式（3）的正确性还需要证明．思考：上面的数学活动是由那些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？思路2（演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和．（1）把正整数的平方表示出来，有，左右两边相加，得，等号两边的被削去了，所以无法从中求出的值，尝试失败了！（2）从失败中汲取有用信息，进行新的尝试．前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出，却求出了用心爱心专心的表达式，即，它启示我们：既然能用上面方法求出，那么我们也应该可以用类似的方法求出．（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式．具体方法如下：．左右两边分别相加，得．由此知．思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？上面的案例说明：（1）数学发现活动时一个探索创造的过程．这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，互相为用，共同推动着发现活动的进程．（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判断”和证明，从而为调控探索活动提供依据．对这两种推理在数学活动中的作用，著名的数学家波利亚作了精辟的论述：“数学的创造过程与任何其它知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前先得猜测这个定理的内容；在完成详细的证明之前，先得推测证明的思路．创造过程式一个艰苦曲折的过程．数学家创造性的工作是论证推理，即证明．但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的，”五．回顾小结：1．合情推理和演绎推理的区别和联系；2．体会这两种推理在数学活动中的作用．用心爱心专心
