清北名师三角部分竞赛精讲及高考选讲【内容综述】一．三角函数的性质1．正，余弦函数的有界性对任意角，，2．奇偶性与图象的对称性正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，并且y=sinx的图象还关于直线对称：余弦函数是偶函数，从而y=cosx的图象关于y轴对称，并且其图象还关于直线对称3．单调性y=sinx在上单调递增，在上单调递减：y=cosx在上单调递增，在上单调递减；y=tanx在上都是单调递增的；y=cotx在上都是单调递减的。4．周期性y=sinx与y=cosx的最小正周期是2π，y=tanx与y=cosx的最小正周期是π。【习题讲解】例1已知圆222kyx至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小值点，求实数k的取值范围。解：因为是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆222kyx也关于原点对称，所以，图222kyx只需覆盖的一个最值点即可。令，可解得的图象上距原点最近的一个最大值点，依题意，此点到原点的距离不超过|k|，即1综上可知，所求的K为满足的一切实数。例2：例3：已知，且求cos(x+2y)的值。解：原方程组可化为因为所以令，则在上是单调递增的，于是由得f(x)=f(-2y)得x=-2y2即x+2y=0例4：求出（并予以证明）函数的最小正周期。解：首先，对任意，均有这表明，是函数f(x)的一个周期；其次，设，T是f(x)的一个周期，则对任意，均有在上式中，令x=0，则有。两边平方，可知即sin2T=0，这表明，矛盾。综上可知，函数的最小正周期为。例5求证：在区间内存在唯一的两个数，使得sin(cosc)=c,cos(sind)=d证明：构造函数f(x)=cos(sinx)-xf(x)在区间内是单调递减的，由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0.故存在唯一的，使f(d)=0，即cos(sind)=d对上述两边取正弦，并令c=sind，有sin(cos(sind))=sindsin(cosc)=c3显然，由于y=sinx在是单调递增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且例6已知对任意实数x，均求证：证明：首先，f(x)可以写成①其中是常数，且，在①式中，分别令和得②③②+③，得又在①式中分别令，得④⑤由④+⑤，得4
