第三讲平面向量1．[2014·陕西卷]设0＜θ＜，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝______.答案：.[解析]由a·b＝0，得sin2θ＝cos2θ.又0<θ<，∴cosθ≠0，∴2sinθ＝cosθ，则tanθ＝.2．[2014·全国卷]已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝()A．－1B．0C．1D．2答案：B[解析]因为a，b为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos60°－|b|2＝0.3．（2013天津）在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1,则AB的长为________．解析：本题考查平面向量的运算，意在考查考生的运算求解能力．设||＝x，x＞0，则·＝x.又·＝(＋)·(－)＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.答案：4．（2012新课标全国）已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.解析：依题意，可知|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4－4|a||b|·cos45°＋|b|2＝4－2|b|＋|b|2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，∴|b|＝＝3(负值舍去)．答案：35．（2013江西）设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．解析：本题考查向量的数量积、向量的射影及模长公式，意在考查考生的运算能力．依题意得|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，|b|＝2，所以向量6．（2010湖南）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于()A．－16B．－8C．8D．16解析：法一：因为cosA＝，故·＝||||cosA＝AC2＝16.法二：在上的投影为||cosA＝||，故·＝||||cosA＝AC2＝16.答案：Da在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝.7.（2012江苏）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．1解析：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．设F(x,2)(0≤x≤)，由·＝⇒x＝⇒x＝1，所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝.答案：8．[2014·江西卷]已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝.若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．答案：3[解析]因为|a|2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9×1－12×1×1×＋4×1＝9，所以|a|＝3.9．如图X192所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，AB＝4AC，则OC·(OB－OA)＝____________．图X192答案：－[解析]由已知得|AB|＝，|AC|＝，则OC·(OB－OA)＝(OA＋AC)·AB＝OA·AB＋AC·AB＝cos＋×＝－.（2013山东）(10)、在平面直角坐标系中，已知，，若，则实数的值为______2
