江苏省扬州市高考数学考前指导 立体几何练习题2-人教版高三全册数学试题VIP免费

立体几何1.如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，,,45ABAEFAFEAEF（I）求证：EFBCE平面；（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥BCE平面【解析】解法一：因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°，又因为∠AEF=45,所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.因为BC平面ABCD,BE平面BCE,BC∩BE=B所以EFBCE平面（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MN12ABPC∴PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.∵CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,∴PM∥平面BCE.解法二:因ABE等腰直角三角形，AEAB，所以ABAE又因为平面ABABCDABEF平面，所以AE⊥平面ABCD，所以ADAE即AEABAD、、两两垂直；如图建立空间直角坐标系,(I)设1AB，则1AE，)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0(CEDB∵45,AEFFEFA，∴090＝AFE，从而），，－（21210F)21,21,0(EF，)0,0,1(),1,1,0(BCBE于是021210BEEF，0BCEF∴EF⊥BE,EF⊥BC∵BE平面BCE，BC平面BCE，BBEBC1∴EFBCE平面（II）)0,21,1(),21,0,0(PM，从而)21,21,1(PM于是041410)21,21,0()21,21,1(EFPM∴PM⊥EF，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，故PM∥平面BCE2.如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.(1)证明：Q为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；解析(1)证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，所以平面QBC∥平面A1AD，从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D.故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，于是△QBC∽△A1AD，所以＝＝＝，即Q为BB1的中点．(2)如图1所示，连接QA，QD.设AA1＝h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC＝a，则AD＝2a.图1V三棱锥QA1AD＝×·2a·h·d＝ahd，V四棱锥QABCD＝··d·＝ahd，所以V下＝V三棱锥QA1AD＋V四棱锥QABCD＝ahd.又V四棱柱A1B1C1D1ABCD＝ahd，2所以V上＝V四棱柱A1B1C1D1ABCD－V下＝ahd－ahd＝ahd，故＝.3.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1.当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1，所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.图①图②(2)如图②，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD.又DP＝BQ，DP∥BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，从而EF∥PQ，且EF＝PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1，于是EQ＝FP＝，所以四边形EFPQ也是等腰梯形．同理可证四边形PQMN也是等腰梯形．分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连接OH，OG，则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则∠GOH＝90°.连接EM，FN，则由EF∥MN，且EF＝MN知四边形EFNM是平行四边形．连接GH，因为H，G是EF，MN的中点，所以GH＝ME＝2.在△GOH中，GH2＝4，OH2＝1＋λ2－＝λ2＋，OG2＝1＋(2－λ)2－＝(2－λ)2＋，由OG2＋OH2＝GH2，得(2－λ)2＋＋λ2＋＝4，解得λ＝1±，故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．方法二(向量方法)：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)．图③BC1＝(－2，0，2)，FP＝(－1，0，λ)，FE＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1时，FP＝(－1，0，1)，3因为BC1＝(－2，0，2)，所以BC1＝2FP，即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由可得于是可取n＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±.故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．4