第三节平面向量的数量积[考情展望]1.以客观题的形式考查平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质.2.以平面向量数量积为工具，与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想．一、平面向量的数量积1．数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则向量a与b的数量积是数量|a||b|cosθ，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2．向量的投影：设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是|a|cosθ；向量b在a方向上的投影是|b|cosθ.3．数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．二、平面向量数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a；2．数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；3．分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.三、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤·1．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则(b·c)a等于()A．(26，－78)B．(－28，－42)C．－52D．－78【解析】 b·c＝4×2＋6×3＝26，∴(b·c)a＝(26，－78)．【答案】A2．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，∴θ＝.【答案】C3．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A．|a|＝B．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·bD．|a·b|≤|a|·|b|【解析】|a·b|＝|a||b||cosθ|，故B错误．【答案】B4．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝()A．0B．2C．4D．8【解析】 |a|＝1，|b|＝2，a·b＝0∴|2a－b|＝＝＝2.【答案】B5．(2013·湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.B.C．－D．－【解析】由已知得AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，因此AB在CD方向上的投影为＝＝.【答案】A6．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.【解析】|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°. c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×＋(1－t)×1＝＋1－t＝1－. b·c＝0，∴1－＝0，∴t＝2.【答案】2考向一[077]平面向量数量积的运算(1)(2012·浙江高考)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.(2)(2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．【思路点拨】(1)把AB，AC用AM，MB或MC表示；(2)建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示．或用数量积的几何意义求解【尝试解答】(1)如图所示，AB＝AM＋MB，AC＝AM＋MC＝AM－MB，∴AB·AC＝(AM＋MB)·(AM－MB)＝AM2－MB2＝|AM|2－|MB|2＝9－25＝－16.(2)法一如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．又E在AB边上，故设E(t,0)(0≤t≤1)．则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)．故DE·CB＝1.又DC＝(1,0)，∴DE·DC＝(t，－1)·(1,0)＝t.又0≤t≤1，∴DE·DC的最大值为1.法二 ABCD是正方形，∴DA＝CB.∴DE·CB＝DE·DA＝|DE||DA|cos∠EDA＝|DA||DE|cos∠EDA＝|DA|·|DA|＝|DA|2＝1.又E点在线段AB上运动，故为点E与点B重合时，DE在DC上的投影最大，此时DC·DE＝|DC||DE|cos45°＝×＝1.所以DE·DC的最大值为1.【答案】(1)－16(2)11规律方法11.平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算.2.要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本例1中用AM、MB表示AB、AC等.注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形.对点训练(1)(2013·江西高考)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为_____...
