题型强化练3解答题组合练(A)1.(2020山东青岛一模,17)设等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn.已知a1b1=2,S2=6,S3=12,T2=43,n∈N*.(1)求{an},{bn}的通项公式;(2)是否存在正整数k,使得Sk<6k,且Tk>139?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.2.(2020山东济南二模,18)已知△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(1)证明:acosB+bcosA=c;(2)在①2c-bcosB=acosA,②ccosA=2bcosA-acosC,③2a-bcosCcosA=ccosBcosA这三个条件中任选一个补充在下面问题中,并解答.若a=7,b=5,,求△ABC的周长.3.(2020北京朝阳一模,17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1⊥平面ABC,四边形ACC1A1是正方形,点D,E分别是棱BC,BB1的中点,AB=4,AA1=2,BC=2❑√5.(1)求证:AB⊥CC1;(2)求二面角D-AC1-C的余弦值;(3)若点F在棱B1C1上,且B1C1=4B1F,判断平面AC1D与平面A1EF是否平行,并说明理由.4.(2020海南线上诊断性测试,21)如图,已知点F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过焦点F的动直线l与抛物线C交于M,N两点,且当直线l的倾斜角为45°时,|MN|=16.(1)求抛物线C的方程.(2)试确定在x轴上是否存在点P,使得直线PM,PN关于x轴对称?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.题型强化练3解答题组合练(A)1.解(1)设等差数列{an}的公差为d,在数列{an}中,a3=S3-S2=6.又S2=a1+a2=a3-2d+a3-d=12-3d=6,解得d=2,则a1=a3-2d=2,所以an=2+(n-1)×2=2n.由a1b1=2,得b1=T1=1,因为b2=T2-T1=43-1=13,设数列{bn}的公比为q,所以q=b2b1=13,所以bn=1×(13)n-1=(13)n-1.(2)存在正整数k,使得Sk<6k,且Tk>139.由(1)知,Sk=k(a1+ak)2=k(k+1),因为Sk=k(k+1)<6k,整理得k2-5k<0,解得0139,即13k-1<19,解得k>3.因为k为正整数,所以k=4.2.(1)证明由余弦定理可得,acosB+bcosA=a·a2+c2-b22ac+b·b2+c2-a22bc=a2+c2-b2+b2+c2-a22c=c,所以acosB+bcosA=c.(2)解选①:因为2c-bcosB=acosA,所以2ccosA=bcosA+acosB,由(1)中所证结论可知,2ccosA=c,即cosA=12.因为A∈(0,π),所以A=π3.选②:因为ccosA=2bcosA-acosC,所以2bcosA=acosC+ccosA,由(1)中的证明过程同理可得,acosC+ccosA=b,所以2bcosA=b,即cosA=12.因为A∈(0,π),所以A=π3.选③:因为2a-b·cosCcosA=c·cosBcosA,所以2acosA=bcosC+ccosB,由(1)中的证明过程同理可得,bcosC+ccosB=a,所以2acosA=a,即cosA=12.因为A∈(0,π),所以A=π3.在△ABC中,由余弦定理知,a2=b2+c2-2bccosA,即25+c2-10c·12=49,化简得c2-5c-24=0,解得c=8或c=-3(舍),所以a+b+c=7+5+8=20,即△ABC的周长为20.3.(1)证明因为四边形ACC1A1是正方形,所以CC1⊥AC.又因为平面ABC⊥平面ACC1A1,平面ABC∩平面ACC1A1=AC,所以CC1⊥平面ABC.又因为AB⊂平面ABC,所以AB⊥CC1.(2)解由(1)知,CC1⊥AB,AA1∥CC1,所以AA1⊥AB.又AB=4,AC=AA1=2,BC=2❑√5,所以AB2+AC2=BC2.所以AC⊥AB.如图,以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz.所以A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,0,2),A1(0,2,0),D(2,0,1),C1(0,2,2),E(4,1,0),则⃗AD=(2,0,1),⃗AC1=(0,2,2).由题意可知,平面ACC1的一个法向量为u=(1,0,0).设平面AC1D的一个法向量为v=(x,y,z),则{v·⃗AD=0,v·⃗AC1=0,得{2x+z=0,2y+2z=0.令x=1,解得z=-2,y=2,所以v=(1,2,-2).设二面角D-AC1-C的平面角为θ,则|cosθ|=|u·v||u||v|=11×3=13.由题知,二面角D-AC1-C为锐角,所以其余弦值为13.(3)解平面AC1D与平面A1EF不平行.理由如下:由(2)知,平面AC1D的一个法向量为v=(1,2,-2),且⃗A1E=(4,-1,0),所以⃗A1E·v=2≠0,所以A1E与平面AC1D不平行.又因为A1E⊂平面A1EF,所以平面AC1D与平面A1EF不平行.4.解(1)当直线l的倾斜角为45°,则l的斜率为1,∵F(p2,0),∴l的方程为y=x-p2.由{y=x-p2,y2=2px,得x2-3px+p24=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=3p,∴|MN|=x1+x2+p=4p=16,p=4,∴抛物线C的方程为y2=8x.(2)假设满足条件的点P存在,设P(a,0),由(1)知F(2,0),①当直线l不与x轴垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),由{y=k(x-2),y2=8x,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,Δ=(4k2+8)2-4·k2·4k2=64k2+64>0,x1+x2=4k2+8k2,x1x2=4.∵直线PM,PN关于x轴对称,∴kPM+kPN=0,kPM=k(x1-2)x1-a,kPN=k(x2-2)x2-a.∴k(x1-2)(x2-a)+k(x2-2)(x1-a)=k[2x1x2-(a+2)·(x1+x2)+4a]=-8(a+2)k=0,∵k≠0,∴解得a=-2,则P(-2,0).②当直线l与x轴垂直时,由抛物线的对称性,易知PM,PN关于x轴对称,此时只需P与焦点F不重合即可.综上,存在唯一的点P(-2,0),使得直线PM,PN关于x轴对称.
