解决立体几何中的有关问题1.如图,在直三棱柱中，，分别是的中点，且.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.证明:(1)连接交于,连接,.,分别是,的中点，且,四边形是矩形.是的中点.又是的中点,,则由平面,平面,得平面；(2)在直三棱柱中，底面,.又,即,11AC⊥平面，而平面,，又,由(1)知，,平面，平面，平面平面.2.如图，在四棱锥中，平面平面，平面，，为锐角三角形.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．证明：（1）平面，又平面，平面平面，，又平面，平面，平面;（2）在平面内，过作，垂足为点，平面平面，平面平面，平面，又平面，，为锐角三角形，与是两条相交直线，且都在平面内，又，平面，又平面，平面平面．3.如图，在五面体中，四边形是矩形，平面．（1）求证：；（2）求证：平面平面．证明：（1）四边形是矩形，，平面，平面，1AC2图DPBACB1B1A1CEG1图CEABDF3图平面．平面，平面平面，．（2）平面，平面，．，，平面，平面．平面，平面平面．4.如图，四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点，.（1）求证：；（2）若菱形的边长为，，求四面体的体积；（3）若点在线段上，且，能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论．（1）证明：连接，，为的中点，，在底面菱形中，，为的中点，易得，又平面,平面,平面，；（2）解：由（1）得，又，，，又,,由（1）得，，，就是点到平面的距离，在直角中，，，，则，四面体的体积；（3）解：棱上点：，使平面平面．证明如下：连接和，设与的交点为点，连接，在底面中，，且，，又，，，由（2）中，，，由（1）中，，，又，,，又平面，平面平面.讲授方案【归类总结】1．空间点、线、面的位置关系判定：准确画出相应的几何体，结合该几何体来研究各命题的真假．若判定一个命题为假，只需举一反例(特殊状态、特殊位置、特殊图形)即可．有时用反证法来判断也可以．2．证明线面平行或垂直关系时，要认真体会“转化”这一数学思想方法，既要领会平行、垂直内部间的转化，也要注意平行与垂直之间的转化．3．空间几何体的表面积和体积的研究策略：（1）求规则几何体的体积，关键是确定底面和高，要注意多角度、多方位地观察，选择24图PABCDEF恰当的底面和高，使计算简便．（2）求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为几个规则几何体，再进一步求解．4．解决折叠问题要注意折叠前后位置关系的变化，特别是对折叠前后不变的条件的应用．求三棱锥的体积，基本方法就是直接根据体积公式计算，其难点是求出这个三棱锥的高，也就是顶点到底面的距离，一般可以根据平行关系转化为其他的点到底面的距离，也可以借助于两个平面垂直的性质定理直接作出高，同时要注意转化思想的运用．5．解决探究某些点或线的存在性问题，一般方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再证明其符合要求，一般来说是与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形．3
