数列021.若数列满足：对于，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．如：若则是公差为的准等差数列．（1）求上述准等差数列的第项、第项以及前项的和；（2）设数列满足：，对于，都有．求证：为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列的前项和为，若，求的取值范围．【答案】解：（1），（2分）（4分）（2）①②②-①得．所以，为公差为2的准等差数列．（2分）当为奇数时，；（2分）当为偶数时，，（2分）（3）解一：在中，有32各奇数项，31各偶数项，所以，（4分），．（2分）解二：当为偶数时，，，……将上面各式相加，得．（4分），．（2分）2.设数列的各项均为正数，前项和为，已知(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；(2)是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在请说明理由；(3)证明：对任意，都有．【答案】（文）(1) ，∴当时，．两式相减得，∴…………………………2分 ，∴，又，∴∴是以为首项，为公差的等差数列．……………………2分∴…………………………1分(2)由(1)知，…………………………2分假设正整数满足条件，则∴，解得；…………………………3分(3)…………………………2分于是…………………………2分…………………………3分∴…………………………1分3.设，等差数列中，，记=，令，数列的前n项和为.（1）求的通项公式和；（2）求证：；（3）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【答案】解：（1）设数列的公差为，由,.解得，=3，……………2分∴……………4分 ，∴Sn==.……………6分（2）∴……………8分∴……………10分（3）由(2)知，∴，， 成等比数列.∴……………12分即当时，7，=1，不合题意；当时，，=16，符合题意；当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；……………15分当时，，则，而，所以，此时不存在正整数m,n,且1
