广东省清远市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）图中阴影部分表示的集合是（）A．∁U（A∩B）B．∁U（A∪B）C．A∩（∁UB）D．（∁UA）∩B2．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+bi与2﹣i互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4iB．5+4iC．3﹣4iD．3+4i3．（5分）已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，则a=（）A．﹣1B．2或﹣1C．2D．﹣24．（5分）阅读如图的程序框图，若输入m=2，n=3，则输出a=（）A．6B．4C．3D．25．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1B．y=﹣x2C．D．y=x|x|6．（5分）设平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥l，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为3，则实数b=（）A．B．C．1D．8．（5分）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=，g（x）=f（x）+a，则当实数a满足2＜a＜时，函数y=g（x）的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共30分）（一）必做题（9-13题）9．（5分）图中阴影部分的面积等于．10．（5分）在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是．11．（5分）几何体的三视图如图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为．12．（5分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，直线L：x+y+a=0（a＞0），圆心到直线L的距离等于，则a的值为．13．（5分）如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．2（二）选做题（考生只能从中选做一题，两题全答的，只计前一题的得分）【几何证明选讲选做题】14．（5分）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则∠ACB=．【极坐标和参数方程选做题】15．在极坐标系中，点A（2，）与曲线θ=（ρ∈R）上的点的最短距离为．五、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=sinx•cosx﹣cos2x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别a、b、c，且c=，f（C）=1，求三角形ABC的外接圆面积．17．（12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对2015届高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图：（1）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；（2）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，其中身高在185～190cm之间的人数记为X，求X的分布列和期望．18．（14分）在等腰直角△BCP中，BC=PC=4，∠BCP=90°，A是边BP的中点，现沿CA把△ACP折起，使PB=4，如图1所示．3（1）在三棱锥P﹣ABC中，求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）在图1中，过A作BC的平行线AE，AE=2，过E作AC的平行线与过C作BA的平行线交于D，连接PE，PD得到图2，求直线PB与平面PCD所成角的大小．19．（14分）已知双曲线Γ的焦点为（0，﹣2）和（0，2），离心率为，过双曲线Γ的上支上一点P作双曲线Γ的切线交两条渐近线分别于点A，B（A，B在x轴上方）．（1）求双曲线Γ的标准方程；（2）探究•是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．20．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=2，an+1=2Sn+2（n=1，2，3…）（1）求a2；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设bn=，求证：b1+b2+…+bn＜．21．（14分）设函数f（x）=﹣aln（1+x），g（x）=ln（1+x）﹣bx．（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）①若b是正实数，求使得关于x的不等式g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立的b的取值范围；②证明：不等式﹣lnn≤（n∈N*）．广东省清远市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项...
