考点一等比数列的判定与证明1、设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n，设bn＝an＋3.求证：数列{bn}是等比数列，并求an.证明由Sn＝2an－3n对于任意的正整数都成立，得Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，两式相减，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－3(n＋1)－2an＋3n，所以an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，即＝＝2对一切正整数都成立，所以数列{bn}是等比数列．由已知得：S1＝2a1－3，即a1＝2a1－3，所以a1＝3，所以b1＝a1＋3＝6，即bn＝6·2n－1.故an＝6·2n－1－3＝3·2n－3.考点二等比数列基本量的求解1、(2013·湖北卷)已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．解(1)设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得解得或故an＝·3n－1或an＝－5·(－1)n－1.(2)若an＝·3n－1，则＝n－1，则是首项为，公比为的等比数列．从而＝＝·<<1.若an＝－5·(－1)n－1，则＝－(－1)n－1，故是首项为－，公比为－1的等比数列，从而＝故<1.综上，对任何正整数m，总有<1.故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立．2、(1)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________．(2)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________.解析(1)显然公比q≠1，由题意可知＝，解得q＝2，则数列是以1为首项，为公比的等比数列，由求和公式可得数列的前5项和T5＝.(2)显然公比q≠1，由题意得解得或(舍去)，∴S5＝＝＝.答案(1)(2)3．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，n∈N*，则()．A．{an}是递增的等比数列B．{an}是递增数列，但不是等比数列1C．{an}是递减的等比数列D．{an}不是等比数列，也不单调解析 Sn＝3n－2，∴Sn－1＝3n－1－2，∴an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n－1－2)＝2×3n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1＝1不适合上式，但a1＜a2＜a3＜….答案B4．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn.若S3＝，则S6等于()．A.B.C．63D.解析S3＝＝7a1＝，所以a1＝.所以S6＝＝63a1＝.答案B5．(2013·新课标全国Ⅱ卷)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()．A.B．－C.D．－解析由题知q≠1，则S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝.答案C6．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为()．A．1B．－C．1或－D．－1或解析根据已知条件得＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或－.答案C7．实数项等比数列{an}的前n项的和为Sn，若＝，则公比q等于________．解析首先q≠1，因为若q＝1，则＝2，当q≠1时，＝＝＝＝，q5＝－，q＝－.答案－8．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.解析 a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a3＋a4＝a1q2(1＋q)＝60，∴q2＝2，∴a7＋a8＝a1q6(1＋q)＝[a1(1＋q)]·(q2)3＝30×8＝240.答案2409．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．解析由已知条件，得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，即＝－2.答案－210．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是()．A．－B．－5C．5D.解析由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，得log3an＋1－log3an＝1且an＞0，即log3＝1，解得＝3，所以数列{an}是公比为3的等比数列．因为a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3，所以a5＋a7＋a9＝9×33＝35.所以log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－log335＝－5.答案B11．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝()．A.B.C.D．2解析 S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，∴q＝或－1(舍去)．答案A212．已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝______.解析 2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，化简得2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2.答案2考点三等比数列性质的应用1、(1)(2012·新课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a...
