第三讲平面向量一、向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．2．零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb向量加减法运算的两个关键点：加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，并可推广为多个向量相加的“多边形法则”；减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”．三、平面向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.1巧用系数判共线OA＝λOB＋μOC(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1；反之，也成立．四、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．五、平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示1．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．2．向量平行的坐标表示(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0.(2)三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.共线向量的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.六、平面向量的数量积1．数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则向量a与b的数量积是数量|a||b|cosθ，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2．向量的投影：设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是|a|cosθ；向量b在a方向上的投影是|b|cosθ.3．数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．七、平面向量数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a；2．数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；3．分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.八、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤·基础自测1．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于()A．5B．10C.D．15【解析】 a∥b，∴4y－40＝0，∴y＝10.【答案】B2．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，∴θ＝.【答案】C考点一平面向量的概念与运算例(1)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.(2)(2013·山东高考)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．【自主解答】(1)a＝(，1)，b＝(0，－1)，∴a－2b＝(，3)．又(a－2b)∥c，且c＝(k，)．从而×－3k＝0，∴k＝1.(2) BC＝AC－AB，AP＝λAB＋AC，2又AP⊥BC，∴AP·BC＝0.则(λAB＋AC)·(AC－AB)＝(λ－1)AB·AC－λAB2＋AC2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，∴λ＝.【答案】(1)1(2)跟踪练习：(1)（2013湖北）已知...
