专题五函数零点个数问题一、问题的提出【2017山东高考理10】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）函数零点个数问题是高考命题的一个高频考点,常与函数的图象与性质交汇,以选择题、填空题的形式出现,高考对函数零点的考查主要有以下两个命题角度：(1)判断函数零点个数；(2)由函数零点个数确定参数的值或取值范围．二、问题的探源【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．1．函数零点的定义；对于函数y＝f(x)(x∈D),把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系；Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个(1)函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)＝0的根,也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．(2)连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件,但不是必要条件．3.判断函数零点个数的三种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点．4.明确三个等价关系(三者相互转化)三、问题的佐证一、确定零点个数【例1】已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝x2－3x,则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1,3}B．{－3,－1,1,3}C．{2－,1,3}D．{－2－,1,3}【例2】【2015高考江苏】已知函数，，则方程实根的个数为【解析】由题意得：求函数与交点个数以及函数与交点个数之和，因为，所以函数与有两个交点，又，所以函数与有两个交点，因此共有4个交点【点晴】一些对数型方程不能直接求出其零点，常通过平移、对称变换转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数．这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），而且要明确其变化速度快慢.二、由零点个数确定参数范围【例3】已知0＜a＜1,k≠0,函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点,则实数k的取值范围是________．【解析】函数g(x)＝f(x)－k有两个零点,即f(x)－k＝0有两个解,即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点．分k＞0和k＜0作出函数f(x)的图象．当0＜k＜1时,函数y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点；当k＝1时,有一个交点；当k＞1或k＜0时,没有交点,故当0＜k＜1时满足题意．【注意】若已知f(x)有几个零点,确定参数范围,多用数形结合法,转化为两个熟悉的函数图象有几个交点问题．【例4】【2014天津高考】已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______【解析】分别作出函数与的图像，由图知，时，函数与无交点，时，函数与有三个交点，故当，时，函数与有一个交点，当，时，函数与有两个交点，当时，若与相切，则由得：或（舍），因此当，时，函数与有两个交点，当，时，函数与有三个交点，当，时，函数与有四个交点，所以当且仅当时，函数与恰有4个交点.【点睛】本题考查函数图象与函数零点的有关知识，第一步正确画出图象，利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合零点要求的参数，讨论要全面，注意数形结合.．【例5】【2015高考北京】设函数①若，则的最小值为；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是．【解析】①时，，函数在上为增函数，xo函数值大于1，在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为1；（2）①若函数在时与轴有一...
