第二讲点、直线、平面之间的位置关系2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交【解析】由a⊥b，a⊥α知b⊂α或b∥α，但直线b不与α相交．【答案】C5．(2013·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【解析】A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误．故选C.【答案】C（2011山东）19.（本小题满分12分）如图，在四棱台1111ABCDABCD中，1DD平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，11AD=AB，BAD=60°（Ⅰ）证明：1AABD；（Ⅱ）证明：11CCABD∥平面.【解析】（Ⅰ）证明：因为AB=2AD，所以设AD=a,则AB=2a,又因为BAD=60°,所以在ABD中,由余弦定理得：2222(2)22cos603BDaaaaa,所以BD=3a,所以222ADBDAB,故BD⊥AD,又因为1DD平面ABCD，所以1DDBD,又因为1ADDDD,所以BD平面11ADDA,故1AABD.(2)连结AC,A1C1,设，连接EA1，因为四边形ABCD为平行四边形，1所以由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知CC1∥EA1，又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以11CCABD∥平面.（2012山东）(19)(本小题满分12分)如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若∠，M为线段AE的中点，求证：∥平面.【答案】(19)(I)设中点为O，连接OC，OE，则由知，，又已知，所以平面OCE.所以，即OE是BD的垂直平分线，所以.(II)取AB中点N，连接，∵M是AE的中点，∴∥，∵△是等边三角形，∴.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.(2013·陕西高考)如图7－4－4，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.图7－4－4(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．【思路点拨】在一个平面内确定两条相交直线分别平行于另一个平面；高已确定，关键在于求底面积．【尝试解答】(1)证明由题设知，BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⃘平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⃘平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．又AO＝AC＝1，AA1＝，∴A1O＝＝1.又S△ABD＝××＝1，2∴V三棱柱ABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.(2013·北京高考)图7－5－3如图7－5－3，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【思路点拨】根据面面垂直的性质证明线面垂直，根据线面平行的判定证明线面平行，根据线面垂直的性质证明面面垂直．【尝试解答】(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.规律方法21.证明面面垂直常用面面垂直的判定定理或定义法即证两平面形成的二面角为直角.2.面面垂直的性质是用来推证线面垂直的重要依据，其核心是其中一个面内的直线与交线垂直.在其中一个面内作交线的垂线，这是常作的辅助线.3.空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直或平行问题常常互相转化，将空间问题化归为平面问题是处理立体几何问题的重要思想.3
