江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习矩阵与变换检测题一、知识梳理【高考考情解读】本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等．从形式上看，以解答题为主，本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大．又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力．分值为10分．1．矩阵乘法的定义2．几种常见的平面变换(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换．3．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念(2)逆矩阵的求法(3)逆矩阵的简单性质①若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.②已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.(4)逆矩阵与二元一次方程组4．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念(2)特征向量的几何意义(3)特征多项式(4)求矩阵的特征值与特征向量二、课前预习1.＝________.2．若X＝，则二阶矩阵X＝____________.3．圆x2＋y2＝1在矩阵对应的变换作用下的结果为________．4．若A＝，则A的特征值为________．5．设矩阵A为二阶矩阵，且规定其元素aij＝i2＋j(i＝1,2；j＝1,2)，则A＝__________.三、典型例题1考点一利用向量证明平行与垂直关系考点一常见矩阵变换的应用例1、已知矩阵A＝，B＝.(1)求满足条件AM＝B的矩阵M；(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程．考点二求二阶矩阵的逆矩阵例2、设矩阵M＝(其中a>0，b>0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值．考点三求矩阵的特征值与特征向量例3、已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．四、课后练习一、填空题1．求满足X＝的二阶矩阵X.22．双曲线－＝1的右焦点为F，矩阵A＝，B＝，求点F在矩阵BA对应的变换作用下的象F′.3．求函数y＝x2在矩阵M＝变换作用下的结果．4．(2012·江苏)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．5．已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.6．已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A′(0，3)，B′(1，－1)，试求变换S对应的矩阵T.37．已知曲线C：xy＝1，将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程．8．在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积，其中M＝，N＝.9．已知矩阵A＝，其中a∈R，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－3)．(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量．10．(2012·福建)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵．4
