解答题滚动练21.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解(1)由S△OAM＝和α为锐角，∴sinα＝，cosα＝.又点B的纵坐标是，∴sinβ＝，cosβ＝－.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝＋×＝－.(2)∵cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－，sin2α＝2sinα·cosα＝2××＝，∴2α∈.∵β∈，∴2α－β∈.∵sin(2α－β)＝sin2α·cosβ－cos2α·sinβ＝－，∴2α－β＝－.2．如图，在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝PC＝2，AC＝4，∠PBC＝，点E在BC上，且BE＝EC.(1)求证：平面PAB⊥平面PBC；(2)求AE与平面PAB所成角的正弦值．(1)证明因为PC⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，所以PC⊥AB，PC⊥BC.又因为在△PBC中，PC＝2，∠PBC＝，所以BC＝2，而AB＝2，AC＝4，所以AC2＝AB2＋BC2，所以AB⊥BC.又AB⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，所以AB⊥平面PBC，又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC.(2)解设AE与平面PAB所成的角为θ.因为BE＝EC，所以点E到平面PAB的距离dE＝dC(dC表示点C到平面PAB的距离)．过C作CF⊥PB于点F，由(1)知CF⊥平面PAB，易得dC＝CF＝，所以dE＝dC＝.又AE＝＝，所以sinθ＝＝.3．已知数列{an}的各项均为非负数，其前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有an＋1≤.(1)若a1＝1，a505＝2017，求a6的最大值；(2)若对任意n∈N*，都有Sn≤1，求证：0≤an－an＋1≤.(1)解由题意知an＋1－an≤an＋2－an＋1，设di＝ai＋1－ai(i＝1,2，…，504)，则d1＋d2＋d3＋…＋d504＝a505－a1＝2016，∵≤＝，∴d1＋d2＋…＋d5≤20，∴a6＝a1＋(d1＋d2＋…＋d5)≤21，∴a6的最大值为21.(2)证明若存在k∈N*，使得ak
0时，g(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．(2)当x＞0时，x2－x≤ex－ax－1，即a≤－x－＋1.令h(x)＝－x－＋1(x＞0)，则h′(x)＝(x>0)．令F(x)＝ex(x－1)－x2＋1(x＞0)，则F′(x)＝x(ex－2)(x>0)．当x∈(0，ln2)时，F′(x)＜0，F(x)单调递减；当x∈(ln2，＋∞)时，F′(x)＞0，F(x)单调递增．又F(0)＝0，F(1)＝0，所以当x∈(0,1)时，F(x)＜0，即h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，F(x)＞0，即h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝e－1，所以a∈(－∞，e－1]．
