第二节平面向量基本定理及坐标表示[考情展望]1.考查用平面向量的坐标运算进行向量的线性运算.2.考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运算.3.以向量的坐标运算及共线向量定理为载体，考查学生分析问题和解决问题的能力．一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．二、平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示1．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．2．向量平行的坐标表示(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0.(2)三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.共线向量的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.1．下列各组向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝(，－)，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是()A．①B．①③C．②③D．①②③【解析】②中，e2＝2e1，e1与e2共线；③中e1＝4e2，e1与e2共线，故选A.【答案】A2．若a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则2b－a的坐标是()A．(3，－4)B．(－3,4)C．(3,4)D．(－3，－4)【解析】2b－a＝2(0，－1)－(3,2)＝(－3，－4)．【答案】D3．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于()A．5B．10C.D．15【解析】 a∥b，∴4y－40＝0，∴y＝10.【答案】B4．在平行四边形ABCD中，若AB＝(1,3)，AC＝(2,5)，则AD＝________，BD＝________.【解析】AD＝BC＝AC－AB＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，BD＝AD－AB＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)．【答案】(1,2)(0，－1)5．(2013·广东高考)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】显然命题①②是正确的．对于③，以a的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定能满足，③是错的，对于命题④，若λ＝μ＝1，|a|＞2时，与|a|＝|b＋c|≤|b|＋|c|＝2矛盾，则④不正确．【答案】B6．(2013·北京高考)向量a，b，c在正方形图4－2－1网格中的位置如图4－2－1所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.【解析】以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4.【答案】4考向一[074]平面向量基本定理及其应用(1)(2014·长春模拟)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.图4－2－2(2)如图4－2－2，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设AD＝a，AB＝b，若AB＝2DC，则AO＝________(用向量a和b表示)．【思路点拨】(1)以AD，AB为基底分别表示AC，AE，AF，根据平面向量基本定理列方程组求解．(2)AB＝2DC―→DO＝OB―→借助三角形法则表示AO.【尝试解答】(1)选择AB，AD作为平面向量的一组基底，则AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF＝AB＋AD，又AC＝λAE＋μAF＝(λ＋μ)AB＋(λ＋μ)AD，于是得解得所以λ＋μ＝.(2)由AB＝2DC知，AB∥DC且|AB|＝2|DC|，从而|BO|＝2|OD|.∴BO＝BD＝(AD－AB)＝(a－b)，∴AO＝AB＋BO＝b＋(a－b)＝a＋b.【答案】(1)(2)a＋规律方法11.解答本例(1)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．2．(1)利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基...
