第二讲函数的图象与性质一、函数及其图象1、定义域、值域和对应关系是确定函数的三个要素，是一个整体，研究函数问题时务必要“定义域优先”．2、对于函数的图象要会作图、识图、用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．二、函数的性质1、函数单调性（1）一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)＜f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)＞f(x2)．注意：设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么(1)＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(2)＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．（2）判定方法①定义法：取值，作差，变形，定号，作答．其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解．1②导数法．③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．3、函数的奇偶性（1）对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.①f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)；②f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．（2）．奇、偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．注意：如果奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)＝0.4、周期性（1）周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：①T≠0；②f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立．（2）最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．（3）周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；②若f(x＋a)＝，则T＝2a；③若f(x＋a)＝－，则T＝2a.④若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．⑤若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.5、求函数最值(值域)常用的方法①单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；②图象法：适合于已知或易作出图象的函数；③基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；④导数法：适合于可求导数的函数．三、函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．(3)若f(x＋a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称；若f(x＋a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x＝a对称．1．函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用．2．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中.常考查：①给定函数解析式求定义域；②给出分段函数表达式结合奇偶性、周期性求值．熟练转化函数的性质是解题的关键，是高考的必考内容，常以选择题、填空题的形式考查，多为基础题．基础自测1．(2013·陕西高考)设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则∁RM为()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)2【解析】函数f(x)的定义域M＝(－∞，1]，则∁RM＝(1，＋∞)．【答案】B2．设函数f(x)＝则f(f(3))＝________.【解析】由题意知f(3)＝，f＝2＋1＝，∴f(f(3))＝f＝.【答案】3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2014)＝________.【解析】由函数的周期性知，f(2014)＝f(671×3＋1)＝f(1)，由－1∈知f(－1)＝log24＝2.又函数f(x)是奇函数，从而f(2014)＝f(1)＝－f(－1)＝－2.4．设a＝0.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是________．【解析】由函数y＝x0.5在(0，＋∞)上为增函数知，0.30.5＜0.5＜10.5＝1.又c＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，∴c＞a＞b.5．函数y＝1－的图象是()【解析】将y＝－的图象向右平移1个单位，再向上平移一个...
