第三节等比数列[考情展望]1.运用基本量法求解等比数列问题.2.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定.3.客观题以等比数列的性质及基本量的运算为主，突出“小而巧”的特点，解答题注重函数与方程、分类讨论等思想的综合应用．一、等比数列证明{an}是等比数列的两种常用方法(1)定义法：若＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．二、等比数列的性质1．对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝a.2．通项公式的推广：an＝amqn－m(m，n∈N*)3．公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn；当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列．4．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍是等比数列．等比数列的单调性单调递增a1＞0，q＞1或者a1＜0,0＜q＜1单调递减a1＞0,0＜q＜1或者a1＜0，q＞1常数数列a1≠0，q＝1摆动数列q＜01．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于()A．－B．－2C．2D.【解析】由题意知：q3＝＝，∴q＝.【答案】D2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝()A．－11B．－8C．5D．11【解析】8a2＋a5＝0，得8a2＝－a2q3，又a2≠0，∴q＝－2，则S5＝11a1，S2＝－a1，∴＝－11.【答案】A3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝()A．4B．5C．6D．7【解析】由题意a＝a3a11＝16，且a7＞0，∴a7＝4，∴a10＝a7·q3＝4×23＝25，从而log2a10＝5.【答案】B4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.【解析】 S3＝21，q＝4，∴＝21，∴a1＝1，∴an＝4n－1.【答案】4n－15．(2013·大纲全国卷)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于()A．－6(1－3－10)B.(1－310)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)【解析】由3an＋1＋an＝0，得＝－，故数列{an}是公比q＝－的等比数列．又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝＝3(1－3－10).【答案】C6．(2013·江西高考)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24【解析】由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】A考向一[090]等比数列的基本运算(1)(2013·北京高考)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝______；前n项和Sn＝________.(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．①求{an}的公比q；②若a1－a3＝3，求Sn.【思路点拨】建立关于a1与公比q的方程，求出基本量a1和公比，代入等比数列的通项公式与求和公式．【尝试解答】(1)设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n项和公式求Sn.设等比数例{an}的首项为a1，公比为q，则：由a2＋a4＝20得a1q(1＋q2)＝20.①由a3＋a5＝40得a1q2(1＋q2)＝40.②由①②解得q＝2，a1＝2.故Sn＝＝＝2n＋1－2.【答案】2,2n＋1－2(2)① S1，S3，S2成等差数列，∴a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．由于a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，从而q＝－.②由已知可得a1－a1(－)2＝3，故a1＝4，从而Sn＝＝.规律方法11.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用.2.在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算.对点训练(1)(2012·辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.(2)(2014·晋州模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．①求数列{an}的通项公式；②求数列{3an}的前n项和．【解析】(1)设数列{an}的首项为a1，公比为q， a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1.∴由①得a1＝q；由②知q＝2或q＝，又数列{an}为递增数列，∴a1＝q＝2，从而a...
