中档题专练(三)1.正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD,且AE⊥平面CDE.(1)求证:AB∥平面CDE;(2)求证:平面ABCD⊥平面ADE.2.(2018苏北四市高三第一次调研测试)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成,如图2.已知圆O的半径为10cm,设∠BAO=θ,0<θ<π2,圆锥的侧面积为Scm2.(1)求S关于θ的函数关系式;(2)为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大,求S取得最大值时腰AB的长度.3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,4),B(9,0),C,D分别为线段OA,OB上的动点,且满足AC=BD.(1)若AC=4,求直线CD的方程;(2)证明:△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O).答案精解精析1.证明(1)正方形ABCD中,AB∥CD,又AB⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,所以AB∥平面CDE.(2)因为AE⊥平面CDE,且CD⊂平面CDE,所以AE⊥CD,又正方形ABCD中,CD⊥AD,且AE∩AD=A,AE、AD⊂平面ADE,所以CD⊥平面ADE,又CD⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面ADE.2.解析(1)设AO交BC于点D,过O作OE⊥AB,垂足为E,在△AOE中,AE=10cosθ,AB=2AE=20cosθ,在△ABD中,BD=AB·sinθ=20cosθ·sinθ,所以S=12·2π·20sinθcosθ·20cosθ=400πsinθcos2θ(0<θ<π2).(2)要使侧面积最大,由(1)得:S=400πsinθcos2θ=400π(sinθ-sin3θ),设f(x)=x-x3(00,当x∈(❑√33,1)时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,❑√33)上单调递增,在区间(❑√33,1)上单调递减,所以f(x)在x=❑√33时取得极大值,也是最大值.所以当sinθ=❑√33时,侧面积S取得最大值,此时等腰三角形的腰长AB=20cosθ=20❑√1-sin2θ=20❑√1-(❑√33)2=20❑√63.答:侧面积S取得最大值时,等腰三角形的腰AB的长度为20❑√63cm.3.解析(1)因为A(-3,4),所以OA=❑√(-3)2+42=5,又因为AC=4,所以OC=1,所以C(-35,45),由AC=BD=4,得D(5,0),所以直线CD的斜率为0-455-(-35)=-17,所以直线CD的方程为y=-17(x-5),即x+7y-5=0.(2)证明:设C(-3m,4m)(00),则有{F=0,9m2+16m2-3mD+4mE+F=0,(5m+4)2+(5m+4)D+F=0,解得D=-(5m+4),F=0,E=-10m-3,所以△OCD的外接圆的方程为x2+y2-(5m+4)x-(10m+3)y=0,整理得x2+y2-4x-3y-5m(x+2y)=0,令{x2+y2-4x-3y=0,x+2y=0,所以{x=0,y=0(舍去)或{x=2,y=-1.所以△OCD的外接圆恒过异于O的定点(2,-1).
