第二讲三角恒等变换与解三角形一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式六个公式：①sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；②cos(α±β)＝cos_αcos_βsin∓_αsin_β；③tan(α±β)＝.二、二倍角的正弦、余弦、正切公式1．三个公式：①sin2α＝2sin_αcos_α；②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan2α＝.应用二倍角公式的变形求值的注意问题已知sinα，cosα的值求tan时，应优先采用tan＝或tan＝，这样可以避免由“tan＝±”带来增解．三、辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ).1．辅助角公式的特殊情况(1)sinα±cosα＝sin；(2)sinα±cosα＝2sin；(3)cosα±sinα＝2sin.2．辅助角公式的作用(1)利用该公式可将形如y＝asinx＋bcosx的函数转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，进而研究函数的性质．(2)若函数y＝asinx＋bcosx的定义域为R，则值域为[－，]．四、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bc·cos_A，b2＝c2＋a2－2ca·cos_B，c2＝a2＋b2－2ab·cosC．变形形式①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；③＝.cosA＝；cosB＝；cosC＝.解决问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况1A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．五、三角形常用面积公式1．S＝a·ha(ha表示边a上的高)；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.3．S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．三角形中的常用结论(1)A＋B＝π－C，＝－.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A、B、C≠)．基础自测1．(2013·江西高考)若sin＝，则cosα＝()A．－B．－C.D.【解析】cosα＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝.【答案】C2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A.B.C．－D．－【解析】由正弦定理，得sinB＝＝. a＞b，A＝60°，∴B＜60°，cosB＝＝.【答案】A3．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．【解析】由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.故S△ABC＝AB·BCsin120°＝×5×3×＝.【答案】考点一简单的三角恒等变换例化简：(1)sin50°(1＋tan10°)；(1)sin50°＝sin50°＝＝＝＝＝＝1.(2)(2013·浙江高考)函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是()A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2(2)f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin，所以最小正周期为T＝＝π，振幅A＝1.跟踪练习：(2012·四川高考)已知函数f(x)＝cos2－sincos－.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝，求sin2α的值．【解】(1)由已知，f(x)＝cos2－sincos－＝(1＋cosx)－sinx－＝cos，所以f(x)的最小正周期为2π，值域为.(2)由(1)知，f(α)＝cos＝，所以cos＝.所以sin2α＝－cos＝－cos2＝1－2cos2＝1－＝.考点二正余弦定理例(2013·山东高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．2【自主解答】(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b＝2，a＋c＝6，cosB＝，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sinB＝＝，由正弦定理得sinA＝＝.因为a＝c，所以A为锐角．所以cosA＝＝.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝.跟踪练习：（2014山东）中，角A，B，C所对的边分别为.已知.（Ｉ）求的值；（II）求的面积.【解析】：（Ⅰ）由题意知：，，由正弦定理得：（Ⅱ）由得.,，因此，的面积考点三解三角形及其应用例[2014·浙江卷]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sinAsinB＝2＋.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．解：(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4si...
