课时作业49椭圆一、选择题1．(2014·浙江金丽衢十二校联考)若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由题意得a＝3，c＝，则|PF2|＝2.在△F2PF1中，由余弦定理得cos∠F2PF1＝＝－.又 ∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝.答案：C2．(2014·河北邯郸一模)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么|PF2|是|PF1|的()A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍解析：设线段PF2的中点为D，则|OD|＝|PF1|，OD∥PF1，OD⊥x轴，∴PF1⊥x轴．∴|PF1|＝＝＝.又 |PF1|＋|PF2|＝4，∴|PF2|＝4－＝.∴|PF2|是|PF1|的7倍．答案：A3．(2014·北京丰台期末)在同一平面直角坐标系中，方程ax2＋by2＝ab与方程ax＋by＋ab＝0表示的曲线可能是()ABCD解析：直线方程变形为y＝－x－a，在选项B和C中，解得所以ax2＋by2＝ab表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线，故B和C都是错误的；1在选项A中，解得所以ax2＋by2＝ab表示的曲线是椭圆；在选项D中，解得所以ax2＋by2＝ab不可能表示双曲线，故选项D错误．答案：A4．(2014·福建福州期末)已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为()A.B.C.或D.或解析：因为已知实数4，m,9构成一个等比数列，所以可得m2＝36，解得m＝6或m＝－6.当圆锥曲线为椭圆时，即＋y2＝1的方程为＋y2＝1.所以a2＝6，b2＝1，则c2＝a2－b2＝5.所以离心率e＝＝＝.当是双曲线时可求得离心率为.答案：C5．(2014·河北唐山二模)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析：从椭圆上长轴端点向圆引两条切线P′A，P′B，则两切线形成的角∠AP′B最小．若椭圆C1上存在点P′.令切线互相垂直，则只需∠AP′B≤90°，即α＝∠AP′O≤45°，∴sinα＝≤sin45°＝.又b2＝a2－c2，∴a2≤2c2，∴e2≥，即e≥.又 0＜e＜1，∴≤e＜1，即e∈.答案：C6．(2014·大纲全国卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1解析： ＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，∴＝，∴a∶b∶c＝3∶∶.又 过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4，∴4a＝4，∴a＝.故c＝1，2∴b＝，∴椭圆方程为＋＝1，选A.答案：A二、填空题7．(2014·江西卷)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A、B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于__________．解析：由题意知F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·KF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去)．答案：8．(2014·四川绵阳二诊)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的任意一点，若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则此椭圆的离心率为__________．解析：cosα＝⇒sinα＝，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝·±·，∴sinβ＝或－(舍去)．设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由正弦定理，得＝＝⇒＝⇒e＝＝.答案：9．(2014·辽宁卷)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝__________.解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.答案：12三、解答题10．(2014·北京卷)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解析：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e...
