探索性问题的常见类型及其求解策略 新课标 人教版VIP免费

探索性问题的常见类型及其求解策略在近几年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、几何，成为高考的热点之一。正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。多年来笔者对此也做了一些探讨。探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明：一、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。例1．（2002年上海10）设函数是偶函数，则t的一个可能值是。分析与解答： 函数∴。由此可得∴评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．二、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。例2．（2004年上海文12）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设是公比为q的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组。（写出所有符合要求的组号）。①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an.其中n为大于1的整数，Sn为的前n项和。==1分析与解答：（1）由S1和S2，可知a1和a2。由可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”。（2）由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得∴∴满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列的基本量。（3）由a1与an，可得，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量。（4）由q与an，由，故数列能够确定，是数列的一个基本量。故应填①、④评注：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略。本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义。如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．例3（2002上海）．规定11!mxxxxmCm，其中，是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）组合数的两个性质：①；②11mmmnnnCCC是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（Ⅲ）我们知道，组合数是正整数．那么，对于mxC，，是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些R成立的例子吗？==2分析与解答：（Ⅰ）．（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当时，有定义，但无意义．性质②如果能够推广，那么,它的推广形式应该是：，其中，是正整数．类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，当时，．当时，由此，可以知道，性质②能够推广．（Ⅲ）从mxC的定义不难知道，当xZ且时，不成立，下面，我们将着眼点放在的情形．...