提升综合素养（三）三角恒等变形1．已知cos＝，且α∈，则tanα＝()A.B.C．－D．±解析：选B由cos＝知－sinα＝，∴sinα＝－，故α∈，∴cosα＝－，∴tanα＝.2．已知2sinθ＋3cosθ＝0，则tan2θ()A.B.C.D.解析：选B∵2sinθ＋3cosθ＝0，∴tanθ＝－.∴tan2θ＝＝＝.故选B.3．若α∈，且3cos2α＝4sin，则sin2α的值为()A.B．－C．－D.解析：选C∵3cos2α＝4sin，∴3(cos2α－sin2α)＝2(cosα－sinα)．∴cosα＋sinα＝，∴(cosα＋sinα)2＝，即1＋sin2α＝.∴sin2α＝－.故选C.4．化简＝()A．1B.C．2D．－1解析：选C＝＝＝＝2.5．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)，且其图像关于直线x＝0对称，则()A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数解析：选Bf(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin，∵图像关于直线x＝0对称，∴＋φ＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ(k∈Z)．又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2cos2x.其最小正周期T＝＝π，且在上单调递减，故选B.6．若a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，f(x)＝a·b＋4cos2x＋2sinxcosx．如果存在m∈R，对任意x∈R都有f(x)≥f(m)，则f(m)等于()A．2＋2B．3C．0D．2－2解析：选C若a＝(sin2x，cos2x)，b＝(sin2x，－cos2x)，则f(x)＝a·b＋4cos2x＋2sinxcosx＝sin4x－cos4x＋4cos2x＋2sinxcosx＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋2(1＋cos2x)＋sin2x＝－cos2x＋2cos2x＋sin2x＋2＝2＋2＝2sin＋2.由x∈R，知sin∈，即有f(x)∈，则f(x)的最小值为0.存在m∈R，对任意x∈R都有f(x)≥f(m)，则f(m)为f(x)的最小值，则有f(m)＝0.故选C.7．已知sinα＝，且α∈，f(x)＝sin，则f＝________.解析：∵sinα＝，且α∈，∴cosα＝，f＝sin＝sin＝＝.答案：8．设f(x)＝sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．解析：f(x)＝sin3x＋cos3x＝2sin，|f(x)|≤2，所以a≥2.答案：[2，＋∞)9．在△ABC中，若sin(π－A)＝，tan(π＋B)＝，则cosC＝________.解析：∵sin(π－A)＝，∴sinA＝.∵tan(π＋B)＝，∴tanB＝，sinB＝，cosB＝.又∵sinA＝，∴cosA＝或－.当cosA＝－时，
π，故舍去．∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝.答案：10．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.解：(1)∵f(x)＝Asin，且f＝，∴f＝Asin＝Asin＝A·＝，∴A＝3.(2)由(1)知f(x)＝3sin，∴f(θ)－f(－θ)＝3sin－3sin＝3＝3×2sinθcos＝3sinθ＝，∴sinθ＝.∵θ∈，∴cosθ＝＝，∴f＝3sin＝3sin＝3cosθ＝.11．已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈.(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝3cosφ，0<φ<，求cosφ的值．解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝.又∵θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝cosφ＋2sinφ＝3cosφ，∴cosφ＝sinφ，∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.又∵0<φ<，∴cosφ＝.12．已知函数f(x)＝2cosx·(sinx－cosx)，x∈R.(1)求函数f(x)图像的对称中心；(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值．解：(1)f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝sin－1.令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，因此，函数f(x)的图像的对称中心为，k∈Z.(2)因为f(x)＝sin－1在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f＝－1，f＝－1，f＝sin－1＝－cos－1＝－2，故函数f(x)在区间上的最大值为－1，最小值为－2.
