中档题专练(一)1.(2018江苏盐城高三(上)期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,cosB=79,且⃗BA·⃗BC=7.(1)求b的值;(2)求sin(A-B)的值.2.(2018南京师大附中高三年级模拟)如图,A,B,C三个警亭有直道相通,已知A在B的正北方向6千米处,C在B的正东方向6❑√3千米处.(1)警员甲从C出发,沿CA行至点P处,此时∠CBP=45°,求PB的长;(2)警员甲从C出发沿CA前往A,警员乙从A出发沿AB前往B,两人同时出发,甲的速度为3千米/小时,乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达B后原地等待,直到甲到达A时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米,试问两人通过对讲机能保持联系的总时长?答案精解精析1.解析(1)在△ABC中,由⃗BA·⃗BC=7,得accosB=7,即3c×79=7,解得c=3.在△ABC中,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac·cosB=9+9-18·79=4,∴b=2.(2)因为cosB=79,所以B为锐角,故sinB=4❑√29.又由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=22+32-322×2×3=13,所以A为锐角,且sinA=2❑√23.所以sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=2❑√23×79-13×4❑√29=10❑√227.2.解析(1)易知在△ABC中,AB=6,∠A=60°,∠APB=75°,由正弦定理得,ABsin∠APB=BPsinA,则BP=6×❑√32❑√2+❑√64=12❑√3❑√6+❑√2=12❑√3×(❑√6-❑√2)4=3❑√3×(❑√6-❑√2)=9❑√2-3❑√6,故PB的长是(9❑√2-3❑√6)千米.(2)甲从C到A需要4小时,乙从A到B需要1小时.设甲、乙之间的距离为f(t),要保持通话则需要f(t)≤9.①当0≤t≤1时,f(t)=❑√(6t)2+(12-3t)2-2·6t·(12-3t)cos60°=3❑√7t2-16t+16≤9,即7t2-16t+7≤0,解得8-❑√157≤t≤8+❑√157,又t∈[0,1],所以8-❑√157≤t≤1,所以时长为❑√15-17小时.②当1
