第7节抛物线1．(2019·沈阳市监测)抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是()A．(0，a)B．(a,0)C.D.解析：C[将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝y(a≠0)，所以焦点坐标为，所以选C.]2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A．y2＝±2xB．y2＝±2xC．y2＝±4xD．y2＝±4x解析：D[因为双曲线的焦点为(－，0)，(，0)，设抛物线方程为y2＝±2px(p＞0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.]3．(2019·海淀区一模)若抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是()A．p＜1B．p＞1C．p＜2D．p＞2解析：D[∵设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x＝－的距离，显然当p为抛物线的顶点时，p到准线的距离取得最小值.∴＞1，即p＞2.故选D.]4．(2019·广州市模拟)如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝()A．n＋10B．n＋20C．2n＋10D．2n＋20解析：A[由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.故选A.]5．(2019·上饶市一模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M(－2,2)，过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA·MB＝0，则k＝()A.B.C.D．2解析：D[由抛物线C：y2＝8x得焦点F(2,0)．由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y＝k(x－2)，代入抛物线方程，得到k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，Δ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16.又MA·MB＝0，∴MA·MB＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝－＋4＝0，∴k＝2.故选D.]6．(2019·邯郸市模拟)设点P在圆C：x2＋(y－6)2＝5上，点Q在抛物线x2＝4y上，则|PQ|的最小值为________．解析：设Q(x，y)，其中x2＝4y.又圆心C(0,6)，则|QC|＝＝＝(y≥0)．当y＝4时，|QC|min＝2，所以|PQ|min＝|QC|min－r＝2－＝.答案：7．(2019·来宾市调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是________________________________________________________．解析：把x＝－代入y＝±x，解得y＝±，所以|AB|＝.因为△AOB的面积为，所以××＝，由e＝＝＝2.解得＝，所以×＝，解得p＝2，所以该抛物线的标准方程是y2＝4x.答案：y2＝4x8．(2019·重庆市模拟)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.解析：F点坐标为，设A，B两点的横坐标为x1，x2.因|AF|<|BF|，故直线AB不垂直于x轴．设直线AB为y＝k，联立直线与抛物线的方程，得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，①则x1＋x2＝.又|AB|＝x1＋x2＋1＝，可解得k2＝24，代入①式得12x2－13x＋3＝0，即(3x－1)(4x－3)＝0.而|AF|<|BF|，所以x1＝.由抛物线的定义，得|AF|＝x1＋＝.答案：9．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：(1)设直线l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线y2＝4x中得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，而Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0恒成立．设A(x，y)，B(x2，y2)，则∴|AB|＝＝.∴＝8，解得k2＝1，即k＝±1，又∵k>0，∴k＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5，设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，由勾股弦可得解得，或，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.10．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：(1)设直线l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线y2＝4x中得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，而Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0恒成立．∴|AB|＝＝.∴＝8，解得k2＝1，即k＝±1.∵k＞0，∴k＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5，设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，由勾股弦可得解得或，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
