上海市长宁、嘉定区2017届高三数学上学期期末质量调研（一模）试题一．填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每题填对得4分，第7~12题每题填对得5分．1．设集合，集合，则_____________．2．函数（）的最小正周期是，则____________．3．设为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为__________．4．若函数的反函数的图像经过点，则实数__________．5．已知展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为，则______．6．甲、乙两人从门不同的选修课中各选修门，则甲、乙所选的课程中恰有门相同的选法有___________种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为、圆心角为的扇形，则这个圆锥的体积为_____________．8．若数列的所有项都是正数，且（），则_____________．9．如图，在△中，，是边上的一点，，，，则的长为_____________．10．有以下命题：①若函数既是奇函数又是偶函数，则的值域为；②若函数是偶函数，则；③若函数在其定义域内不是单调函数，则不存在反函数；④若函数存在反函数，且与不完全相同，则与图像的公共点必在直线上．其中真命题的序号是______________（写出所有真命题的序号）．11．设向量，，，其中为坐标原点，，若、、三点共线，则的最小值为____________．12．如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为__________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．13．“”是“”的……………………………………………………………（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件14．若无穷等差数列的首项，公差，的前项和为，则以下结论中一定正确的是……………………………………………………………………………（）（A）单调递增（B）单调递减（C）有最小值（D）有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数使；（2）直线是函数图象的一条对称轴；（3）（）的值域是；（4）若，都是第一象限角，且，则．其中正确命题的序号为……………………………………………………………………（）（A）（1）（2）（B）（2）（3）（C）（3）（4）（D）（1）（4）16．如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是…………………………………………………………………………………………（）（A）（B）（C）（D）三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图：已知平面，，与平面所成的角为，且．（1）求三棱锥的体积；（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在△中，，，分别是角，，的对边，且．（1）求角的大小；（2）若，，求和的值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分11分．某地要建造一个边长为（单位：）的正方形市民休闲公园，将其中的区域开挖成一个池塘．如图建立平面直角坐标系后，点的坐标为，曲线是函数图像的一部分，过边上一点在区域内作一次函数（）的图像，与线段交于点（点不与点重合），且线段与曲线有且只有一个公共点，四边形为绿化风景区．（1）求证：；（2）设点的横坐标为，①用表示，两点的坐标；②将四边形的面积表示成关于的函数，并求的最大值．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数．（1）若，，求的值域；（2）当时，求的最小值；（3）是否存在实数、，同时满足下列条件：①；②当的定义域为时，其值域为．若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知无穷数列的各项都是正数，其前项和为，且满足：，...
