课时规范练37空间向量及其运算基础巩固组1.已知空间四边形OABC中,⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则⃗MN=()A.12a-23b+12cB.-23a+12b+12cC.12a+12b-12cD.23a+23b-12c2.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交3.(2019陕西西安质检)已知空间四边形ABCD的每条棱和对角线的长都等于a,E,F分别是BC,AD的中点,则⃗AE·⃗AF的值为()A.a2B.12a2C.14a2D.❑√34a24.若向量a=(❑√3,1,0),b=(1,0,z),
=π3,则实数z的值为()A.❑√2B.2C.±❑√2D.±25.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量⃗AB,⃗AD,⃗AA1两两的夹角均为60°,且|⃗AB|=1,|⃗AD|=2,|⃗AA1|=3,则|⃗AC1|等于()A.5B.6C.4D.86.已知空间向量a,b,满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为π3,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足⃗OA=2a+b,⃗OB=3a-b,则△OAB的面积为.7.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,1,-1),则p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为,在基底{2a,b,-c}下的坐标为.8.(2019江苏宿迁期末)若平面α的一个法向量为12,12,0,直线l的方向向量为(1,0,1),则l与α所成角的大小为.9.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为.10.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,求证:(1)A1,G,C三点共线;(2)A1C⊥平面BC1D.综合提升组11.(2019广西模拟)A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足⃗AB·⃗AC=0,⃗AC·⃗AD=0,⃗AB·⃗AD=0,M为BC中点,则△AMD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定12.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()A.110B.25C.❑√3010D.❑√2213.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列命题:①(⃗A1A+⃗A1D1+⃗A1B1)2=3⃗A1B12;②⃗A1C·(⃗A1B1−⃗A1A)=0;③向量⃗AD1与向量⃗A1B的夹角为60°;④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|⃗AB·⃗AA1·⃗AD|.其中真命题的序号是()A.①②B.①②③C.①④D.①②④14.(2019西安调研)已知⃗AB=(1,5,-2),⃗BC=(3,1,z),若⃗AB⊥⃗BC,⃗BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y=.创新应用组15.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为.16.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求⃗BN的模;(2)求cos<⃗BA1,⃗CB1>的值;(3)求证:A1B⊥C1M.参考答案课时规范练37空间向量及其运算1.B显然⃗MN=⃗ON−⃗OM=12¿)-23⃗OA=12b+12c-23a.故选B.2.B a=(1,0,2),n=(-2,0,-4),即n=-2a,故a∥n,∴l⊥α.3.C⃗AE·⃗AF=12¿)·12⃗AD=14¿)=14(a2cos60°+a2cos60°)=14a2.故选C.4.C|a|=❑√(❑√3)2+12=2,|b|=❑√1+z2,a·b=❑√3.∴cosπ3=a·b|a||b|=❑√32×❑√1+z2=12,化为z2=2,解得z=±❑√2.故选C.5.A设⃗AB=a,⃗AD=b,⃗AA1=c,则|⃗AC1|=a+b+c,|⃗AC1|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此|⃗AC1|=5.6.5❑√34由⃗OA=2a+b,⃗OB=3a-b,得|⃗OA|=❑√(2a+b)2=❑√7,|⃗OB|=❑√(3a-b)2=❑√7,⃗OA·⃗OB=(2a+b)·(3a-b)=112.∴cos∠BOA=⃗OA·⃗OB|⃗OA||⃗OB|=1114,∴sin∠BOA=5❑√314.∴S△OAB=12∨⃗OA||⃗OB|sin∠BOA=5❑√34.7.32,12,-1(1,1,1)由条件p=2a+b-c.设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,因为a,b,c不共面,所以{x+y=2,x-y=1,z=-1,所以{x=32,y=12,z=-1,即p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为32,12,-1,同理可求p在基底{2a,b,-c}下的坐标为(1,1,1).故答案为32,12,-1,(1,1,1).8.π6设平面α的一个法向量为m=12,12,0,直线l的方向向量为n=(1,0,1),则cos=m·n|m||n|=12❑√22×❑√2=12,令l与α所成角的大小为θ,则sinθ=12,即直线l与平面α所成角为π6.9.2由题意知⃗AB·⃗AC=0,|⃗AB|=|⃗AC|.又⃗AB=(6,-2,-3),⃗AC=(x-4,3,-6),∴{6(x-4)-6+18=0,(x-4)2=4,解得x=2.10.证明(1)⃗CA1=⃗CB+⃗BA+⃗AA1=⃗CB+⃗CD+⃗CC1,⃗CG=⃗CC1+⃗C1G=⃗CC1+23×12¿)=⃗CC1+13¿)=13¿)=13⃗CA1,...
