课时规范练38空间几何中的向量方法基础巩固组1.已知二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量分别为a,b,若
=π3,则二面角α-l-β的大小为()A.π3B.2π3C.π3或2π3D.π6或π32.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是()A.32B.❑√22C.❑√3D.3❑√23.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PA=PD=❑√5,平面ABCD⊥平面PAD,M是PC的中点,O是AD的中点,则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是()A.❑√55B.2❑√55C.❑√8585D.8❑√85854.如图,空间正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成角的大小是()A.π6B.π4C.π3D.π25.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,则二面角C-BF-D的正切值为()A.❑√36B.❑√34C.❑√33D.2❑√336.若直线l的方向向量a=(-2,3,1),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为.7.已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABC所成的二面角的余弦值等于.8.(2019辽宁育才学校模拟,19)在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,BC∥AD,∠ADC=90°,BC=CD=12AD=1,PA=PD,E,F分别为AD,PC的中点.(1)略;(2)若PE=EC,求二面角F-BE-A的余弦值.9.(2019四川广安诊断一,19)如图,在棱长为2的正方体ACBD-A1C1B1D1中,M是线段AB上的动点.(1)略;(2)略;(3)判断点M到平面A1B1C的距离是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.综合提升组10.已知在正四面体A-BCD中,E为棱AD的中点,则CE与平面BCD的夹角的正弦值为()A.❑√32B.❑√23C.12D.❑√3311.(2019江苏苏州考前模拟)在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=2CD=2BC=2AD=4,∠DAB=60°,AE=BE,△PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD.(1)求二面角P-EC-D的余弦值;(2)略.12.(2019江西名校5月联考,18)已知空间几何体ABCDE中,△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形,△ABC为腰长为❑√13的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.(1)略;(2)求直线BE与平面AEC所成角的正弦值.13.如图,平面ABDE⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,四边形ABDE是直角梯形,BD∥AE,BD⊥BA,BD=12AE=2,O,M分别为CE,AB的中点.(1)求异面直角AB与CE所成角的大小;(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值.创新应用组14.在三棱锥A-BCD中,AB=AD=BD=2,BC=DC=❑√2,AC=2.(1)求证:BD⊥AC;(2)点P为AC上一动点,设θ为直线BP与平面ACD所形成的角,求sinθ的最大值.15.(2019陕西咸阳模拟一,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=120°,PA=PC,PB=PD,AC∩BD=O.(1)求证:PO⊥平面ABCD;(2)若PA与平面ABCD所成的角为30°,求二面角B-PC-D的余弦值.参考答案课时规范练38空间几何中的向量方法1.C由于二面角的范围是[0,π],而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向,因此二面角α-l-β的大小为π3或2π3,故选C.2.B两平面的一个单位法向量n0=(-❑√22,0,❑√22),故两平面间的距离d=|⃗OA·n0|=❑√22.3.D以O为原点,以⃗OA、⃗AB和⃗OP为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.由题可知O(0,0,0),P(0,0,2),B(1,2,0),C(-1,2,0),则⃗OP=(0,0,2),⃗OC=(-1,2,0), M是PC的中点,∴M-12,1,1,⃗BM=-32,-1,1.设平面PCO的一个法向量n=(x,y,z),直线BM与平面PCO所成角为θ,则{n·⃗OP=2z=0,n·⃗OC=-x+2y=0,可取n=(2,1,0),sinθ=|cos<⃗BM,n>|=|⃗BM·n||⃗BM||n|=4❑√174×❑√5=8❑√8585.故选D.4.D以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建系(图略),设棱长为1,A1(1,0,1),M0,12,0,D(0,0,0),N0,1,12,则⃗A1M=-1,12,-1,⃗DN=0,1,12,cos<⃗A1M,⃗DN>=⃗A1M·⃗DN|⃗A1M||⃗DN|=0.∴<⃗A1M,⃗DN>=π2.5.D如图所示,设AC与BD交于点O,连接OF.以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz.设PA=AD=AC=1,则BD=❑√3,所以O(0,0,0),B❑√32,0,0,F0,0,12,C0,12,0,⃗OC=0,12,0,易知⃗OC为平面BDF的一个法向量,由⃗BC=-❑√32,12,0,⃗FB=❑√32,0,-12,可得平面BCF的一个法向量为n=(1,❑√3,❑√3).所以cos=❑√217,sin=2...
