第5节椭圆1．(2019·漳州市模拟)“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示椭圆”的()A．必要且不充分条件B．充分且不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A[由方程mx2＋ny2＝1得＋＝1，所以要使方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，则，即m＞0，n＞0且m≠n.所以，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选A.]2．(2019·太原一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：A[由题意可知：根据三角形的面积公式可知：S＝×bc＝×a×，则a＝2b，椭圆的离心率e＝＝＝，故选A.]3．(2018·宝鸡市三模)已知椭圆的焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：C[∵F1(－1,0)、F2(1,0)，∴|F1F2|＝2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，即|PF1|＋|PF2|＝4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a＝4，a＝2c＝1∴b2＝3，∴椭圆的方程是＋＝1.故选C.]4．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为()A．9,12B．8,11C．8,12D．10,12解析：C[如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝(|PM|＋|MF1|)＋(|PN|＋|NF2|)－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12.]5．(2019·富阳二中高三调研)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝()A.B.C.D.解析：D[椭圆＋＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，故A(－4,0)和C(4,0)是椭圆的两个焦点，所以|AB|＋|BC|＝2a＝10，|AC|＝8，由正弦定理得＝＝＝.]6．(2019·中卫市一模)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上任意一点M到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆C的标准方程是________．解析：椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上任意一点M到两个焦点的距离和是4，焦距是2，则有2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝17．(2019·西安市一模)已知△ABC的顶点A(－3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝________.解析：由椭圆＋＝1，长轴长2a＝10，短轴长2b＝8，焦距2c＝6，则顶点A，B为椭圆的两个焦点．三角形ABC中，|AB|＝6，|BC|＋|AC|＝10，由正弦定理可知＝＝＝2R，则sinA＝，sinB＝，sinC＝，＝＝＝3.答案：38．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，∴＋＝1，①＋＝1，②①－②式有＋＝0，＋＝0，由题意知x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，＝－，所以＋＝0，∴a2＝2b2，∴e＝.答案：9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4且过点(，－2)．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线与椭圆C分别交于点E，F，求OE·OF的取值范围．解：(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，2a＝＋＝4，所以a＝2，b＝2，即椭圆C的方程是＋＝1.(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0,2)，F(0，－2)，OE·OF＝－8.若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋2，点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得(2＋k2)x2＋4kx－4＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以OE·OF＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝－8，因为0<≤10，所以－8
