第3节二项式定理1．(2019·韶关市模拟)在(x－2)8的展开式中，x7的系数为()A．16B．－16C．24D．－24解析：B[(x－2)8的展开式的通项为Tr＋1＝C·x8－r·(－2)r，令8－r＝7，得r＝1.∴在(x－2)8的展开式中，x7的系数为－2×C＝－16.故选B.]2．设6的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则＝()A．4B．－4C．26D．－26解析：A[Tk＋1＝Cx6－xk＝C(－2)2x6－，令6－＝3，即k＝2，所以T3＝C(－2)2x3＝60x3，所以x3的系数为A＝60，二项式系数为B＝C＝15，所以＝＝4.]3．已知n的展开式中第五项与第七项的系数之和为0，其中i为虚数单位，则展开式中常数项为()A．45B．－45C．90D．－90解析：A[由二项展开式的通项公式可得，n的二项展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)n－rr＝C(－i)rx2n－r，易得展开式中的第五项的系数为C(－i)4＝C，第七项的系数为C(－i)6＝－C.由第五项与第七项的系数之和为0，可得C－C＝0，解得n＝10.令2n－r＝20－r＝0，解得r＝8.故所求的常数项为C(－i)8＝45.]4．(2018·大庆市二模)在二项式n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是()A．35B．－35C．－56D．56解析：C[∵在二项式n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，∴展开式中第5项是中间项，共有9项，∴n＝8.展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x8－r·r＝(－1)r·C·x8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，∴展开式中含x2项的系数是(－1)3·C＝－56.故选C.]5．已知(x＋1)5的展开式中常数项为－40，则a的值为()A．2B．－2C．±2D．4解析：C[5的展开式的通项为Tr＋1＝C·(ax)5－r·r＝(－1)r·a5－r·C·x5－2r.取5－2r＝－1，得r＝3，取5－2r＝0，得r＝(舍)．∴(x＋1)5的展开式中常数项为－a2×C＝－40，得a＝±2.故选C.]6．(2019·龙岩市模拟)(x－y)4的展开式中，x3y3项的系数为________．解析：二项展开式的通项是Tr＋1＝C(x)4－r·(－y)r＝(－1)rCx4－y2＋，令4－＝2＋＝3，解得r＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C＝6.答案：67．如果(1＋x＋x2)(x－a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x4项的系数为________．解析：∵(1＋x＋x2)(x－a)5的展开式所有项的系数和为(1＋1＋12)(1－a)5＝0，∴a＝1，∴(1＋x＋x2)(x－a)5＝(1＋x＋x2)(x－1)5＝(x3－1)(x－1)4＝x3(x－1)4－(x－1)4，其展开式中含x4项的系数为C(－1)3－C(－1)0＝－5.答案：－58．若n的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，则n＝________.解析：由题知，T7＝C()n－66，Tn＋1－6＝Tn－5＝C·()6n－6.由＝，化简得6－4＝6－1，所以－4＝－1，所以n＝9.答案：99．已知n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x的项．解：由题意知，第五项系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则有＝，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项公式Tr＋1＝C()8－rr＝C(－2)rx－2r.令－2r＝，得r＝1，故展开式中含x的项为T2＝－16x.10．已知fn(x)＝(1＋x)n.(1)若f2018(x)＝a0＋a1x＋…＋a2018x2018，求a1＋a3＋…＋a2015＋a2017的值；(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数．解：(1)因为fn(x)＝(1＋x)n，所以f2018(x)＝(1＋x)2018，又f2018(x)＝a0＋a1x＋…＋a2018x2018，所以f2018(1)＝a0＋a1＋…＋a2018＝22018，①f2018(－1)＝a0－a1＋…＋a2017＋a2018＝0，②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2015＋a2017)＝22018，所以a1＋a3＋…＋a2015＋a2017＝22017.(2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，所以g(x)＝(1＋x)6＋2(1＋x)7＋3(1＋x)8.g(x)中含x6项的系数为C＋2C＋3C＝99.
