课时限时检测(二十五)平面向量的基本概念及线性运算(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难平面向量的有关概念1平面向量的线性运算2,3,78,11共线向量定理的应用109综合应用45,612一、选择题(每小题5分，共30分)1．若a＋c与b都是非零向量，则“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若a＋b＋c＝0，则b＝－(a＋c)，∴b∥(a＋c)；若b∥(a＋c)，则b＝λ(a＋c)，当λ≠－1时，a＋b＋c≠0，因此“a＋b＋c＝0”是“b∥(a＋c)”的充分不必要条件．【答案】A2．(2014·天津模拟)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b【解析】法一：(代数法)将原等式两边平方得|a＋b|2＝|a－b|2，∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝0，∴a⊥b，故选B.法二：(几何法)如图所示，在▱ABCD中，设AB＝a，AD＝b，∴AC＝a＋b，DB＝a－b. |a＋b|＝|a－b|，∴平行四边形两条对角线长度相等，即平行四边形ABCD为矩形，∴a⊥b，故选B.【答案】B图4－1－23．如图4－1－2，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B.BEC.ADD.CF【解析】BA＋CD＋EF＝DE＋CD＋EF＝CD＋DE＋EF＝CF.【答案】D14．(2014·青岛模拟)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a⊥b【解析】由＋＝0可知a与b必共线且反向，结合四个选项可知A正确．【答案】A5．(2012·浙江高考)设a，b是两个非零向量()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|【解析】由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，∴a·b＝－|a||b|. a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1，∴〈a，b〉＝π，此时a与b反向共线，因此A错误．当a⊥b时，a与b不反向也不共线，因此B错误．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ＝－1，使b＝－a，满足a与b反向共线，故C正确．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－|b|＝|a|－|λa|＝(1－|λ|)|a|，只有当－1≤λ≤0时，|a＋b|＝|a|－|b|才能成立，否则不能成立，故D错误．【答案】C6．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5【解析】由MA＋MB＋MC＝0易得M是△ABC的重心，且重心M分中线AE的比为AM∶ME＝2∶1，∴AB＋AC＝2AE＝mAM＝·AE，∴＝2.∴m＝3.【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)图4－1－37．如图4－1－3所示，向量a－b＝________(用e1，e2表示)．【解析】由图知，a－b＝BA＝e1＋(－3e2)＝e1－3e2.【答案】e1－3e28．若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是________．【解析】 BC＝AC－AB，当AB、AC同向时，|BC|＝8－5＝3，当AB、AC反向时，|BC|＝8＋5＝13，当AB、AC不共线时，3＜|BC|＜13，综上可知3≤|BC|≤13.【答案】[3,13]9．已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是______2__(将正确的序号填在横线上)．①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；②存在相异实数λ、μ，使λa＋μb＝0；③xa＋yb＝0(实数x，y满足x＋y＝0)．【解析】由①得10a－b＝0，故①对．②对．对于③，当x＝y＝0时，a与b不一定共线，故③不对．【答案】①②三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A、B、C三点共线．(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．(3)若AB＝a＋b，BC＝2a－3b，CD＝2a－kb，且A、C、D三点共线，求k的值．【解】(1)证明AB＝OB－OA＝a＋2b，AC＝OC－OA＝－a－2b.所以AC＝－AB，又因为A为公共点，所以A、B、C三点共线．(2)设8a＋kb＝λ(ka＋2b)，则⇒或所以实数k的值为±4.(3)AC＝AB＋BC＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b，因为A、C、D三点共线，所以AC与CD共线．从而存在实数λ使AC＝λCD，即3a－2b＝λ(2a－kb)，得解得λ＝，k＝，所...
