随机变量与分布列A组——大题保分练1．(2018·南京学情调研)袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1,2,3,4.现从袋中随机取两个球．(1)若两个球颜色不同，求不同取法的种数；(2)在(1)的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．解：(1)两个球颜色不同的情况共有C·42＝96(种)．(2)随机变量X所有可能的值为0,1,2,3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以随机变量X的概率分布列为X0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.2．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为p1＝，乙的命中率为p2.在射击比赛活动中，每人射击两发子弹，则完成一次检测．在一次检测中，若两人命中次数相同且都不少于一发，则称该射击小组为“和谐组”．(1)若p2＝，求该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率；(2)若计划在2019年每月进行1次检测，记这12次检测中该小组获得“和谐组”的次数为X，如果E(X)≥5，求p2的取值范围．解：(1)记该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为P，则P＝＋×·×＝.即该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为.(2)该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为P＝×Cp2(1－p2)＋p＝p2－p.因为该小组在这12次检测中获得“和谐组”的次数X～B(12，P)，所以E(X)＝12P.由E(X)≥5得12≥5，解得≤p2≤.因为p2≤1，所以p2的取值范围为.3．从集合M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}．(1)求a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；(2)记a，b，c三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3,4,5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ＝2)，求随机变量ξ的概率分布及其数学期望E(ξ)．解：(1)从9个不同的元素中任取3个不同元素，其基本事件总数为n＝C.记“a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A.由题意，a，b，c均不相邻，可利用插空法．假设有6个元素排成一列，则6个元素之间和两端共有7个空位，现另取3个元素插入空位，共有C种插法，然后将这9个元素，从左到右编号，依次为1,2,3，…，9，则插入的这3个元素中任意两者之差的绝对值均不小于2，所以事件A包含的基本事件数m＝C.故P(A)＝＝.所以a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.所以ξ的概率分布为ξ012P数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.4．已知某种植物的种子每粒发芽的概率都为，某实验小组对该种植物的种子进行发芽试验，若该实验小组共种植四粒该植物的种子(每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独立)，用ξ表示这四粒种子中发芽的种子数与未发芽的种子数的差的绝对值．(1)求随机变量ξ的概率分布和数学期望；(2)求不等式ξx2－ξx＋1>0的解集为R的概率．解：(1)由题意知，这四粒种子中发芽的种子数可能为0,1,2,3,4，对应的未发芽的种子数为4,3,2,1,0，所以ξ的所有可能取值为0,2,4，P(ξ＝0)＝C×2×2＝，P(ξ＝2)＝C×3×1＋C×1×3＝，P(ξ＝4)＝C×4×0＋C×0×4＝.所以随机变量ξ的概率分布为ξ024P数学期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝.(2)由(1)知ξ的所有可能取值为0,2,4，当ξ＝0时，代入ξx2－ξx＋1>0，得1>0，对x∈R恒成立，即解集为R；当ξ＝2时，代入ξx2－ξx＋1>0，得2x2－2x＋1>0，即22＋>0，对x∈R恒成立，即解集为R；当ξ＝4时，代入ξx2－ξx＋1>0，得4x2－4x＋1>0，其解集为x≠，不满足题意．所以不等式ξx2－ξx＋1>0的解集为R的概率P＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝.B组——大题增分练1．(2018·镇江期末)某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A等级的概率都是，该学生各学科等级成绩彼此独立．规定：有一门学科获A等级加1分，有两门学科获A等级加2分，有三门学科获A等级加3分，四门学科获A等级则加5分．记X1表示该生的加分数，X2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值．(1)求X1的数学期望；(2)求X2的分布列．解：(1)记该学生有i门学科获得A等级为事件Ai，i＝0,1,2,3,4.X1的可能取值为0,1,2,3,5.则P(Ai)＝Ci4－i，即P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，则X1的分布列为X10123...
