上海交大附中2015届高三上学期摸底数学试卷一、填空题(本大题共14题,每题4分,满分56分)1.(4分)函数f(x)=1+log2x(x≥2)的反函数f﹣1(x)=.2.(4分)函数y=的最小值.3.(4分)若,则a的取值范围是.4.(4分)若对任意正实数a,不等式x2<1+a恒成立,则实数x的最小值为.5.(4分)同时满足(1)M⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9};(2)若a∈M,则9﹣a∈M的非空集合M有个.6.(4分)设,若“a=1”是“A∩B≠Φ”的充分条件,则实数b的取值范围是.7.(4分)已知sinα=3cosα,则=.8.(4分)方程有解,则k∈.9.(4分)如果=tanα﹣secα成立,那么角α的范围是.10.(4分)函数f(x)=2x+sin2x﹣1图象的对称中心是.11.(4分)()n=0,则a的取值范围是.12.(4分)Sn为等差数列{an}的前n项和,若=,则=.13.(4分)关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R),有下列命题:(1)由f(x1)=f(x2)=0,可得x1﹣x2必定是π的整数倍;(2)y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x+);(3)y=f(x)的图象关于点(,0)对称;1(4)y=f(x)的图象关于直线x=﹣对称,其中正确的命题的序号是.14.(4分)已知等比数列{an}的首项为,公比为﹣,其前n项和记为S,又设Bn={,,,…,}(n∈N*,n≥2),Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T,则S+2T≥2014的最小正整数为.二、选择题(本大题共4题,每题5分,满分20分)15.(5分)下列说法正确的是()A.命题“若x2=1,x=1”的否命题是“若x2=1,则x≠1”B.“x=﹣1”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分条件C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题是真命题D.“tanx=1”是“x=”的充分不必要条件16.(5分)设f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为()A.[﹣1,2]B.[﹣1,0]C.[1,2]D.[0,2]17.(5分)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形18.(5分)定义一种新运算:a•b=已知函数f(x)=(1+)•log2x,若函数g(x)=f(x)﹣k恰有两个零点,则k的取值范围为()A.(1,2]B.(1,2)C.(0,2)D.(0,1)三、解答题(本大题共5题,满分74分12’+14’+14’+16’+18’=74’)19.(12分)解关于x的不等式:mx2+(m﹣2)x﹣2>0.20.(14分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知=,(Ⅰ)求A的大小;2(Ⅱ)若a=6,求b+c的取值范围.21.(14分)数列{an}的首项a1=a,an+an+1=3n﹣54,n∈N*(1)求数列{an}的通项公式;(3)设{an}的前n项和为Sn,若Sn的最小值为﹣243,求a的取值范围?22.(16分)阅读:已知a、b∈(0,+∞),a+b=1,求y=+的最小值.解法如下:y=+=(+)(a+b)=++3≥3+2,当且仅当=,即a=﹣1,b=2﹣时取到等号,则y=+的最小值为3+2.应用上述解法,求解下列问题:(1)已知a,b,c∈(0,+∞),a+b+c=1,求y=++的最小值;(2)已知x∈(0,),求函数y=+的最小值;(3)已知正数a1、a2、a3,…,an,a1+a2+a3+…+an=1,求证:S=+++…+≥.23.(18分)已知函数f(x)满足,对x≠0恒成立,在数列{an},{bn}中,a1=1,b1=1,对任意(1)求函数f(x)的解析式;(2)求{an}、{bn}的通项公式;(3)若对任意实数λ∈[0,1],总存在自然数k,当n≥k时,恒成立,求k的最小值.上海交大附中2015届高三上学期摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14题,每题4分,满分56分)1.(4分)函数f(x)=1+log2x(x≥2)的反函数f﹣1(x)=f﹣1(x)=2x﹣1(x≥2).考点:反函数.专题:函数的性质及应用.3分析:由x≥2,可得y=1+log2x≥2,由y=1+log2x,解得x=2y﹣1,把x与y互换即可得出反函数.解答:解: x≥2,∴y=1+log2x≥2,由y=1+log2x,解得x=2y﹣1,故f﹣1(x)=2x﹣1(x≥2).故答案为:f﹣1(x)=2x﹣1(x≥2).点评:本题考查了反函数的求法、指数与对数的互化,属于基础题.2.(4分)函数y=的最小值.考点:函数单调性的性质;函数...