课时作业21正弦定理与余弦定理一、选择题1．(2014·昆明一模)已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于()A.B.C.D.解析：由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sin＝，又B∈，所以B＝，则△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsinA＝.答案：B2．(2015·广州综合测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝2B，则为()A．2sinCB．2cosBC．2sinBD．2cosC解析：由于C＝2B，故sinC＝sin2B＝2sinBcosB，所以＝2cosB，由正弦定理可得＝＝2cosB，故选B.答案：B3．(2014·东北三省二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝()A.B.C.D.解析：由sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入整理得：＝⇒c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝，所以B＝.答案：C4．(2015·烟台期末)在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lg，则A＝()A．90°B．60°C．120°D．150°解析：由题意可知lg(a＋c)(a－c)＝lgb(b＋c)，∴(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝＝－.又A∈(0，π)，∴A＝120°，选C.答案：C5．(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为()A．－B.C．1D.解析：由正弦定理可得＝22－1＝22－1，因为3a＝2b，所以＝，所以＝2×2－1＝.答案：D6．(2014·石家庄一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则sinA＋sinB的最大值是()A．1B.C.D．31解析：由csinA＝acosC，所以sinCsinA＝sinAcosC，即sinC＝cosC，所以tanC＝，C＝，A＝－B，所以sinA＋sinB＝sin＋sinB＝sin，∵0＜B＜，∴＜B＋＜，∴当B＋＝，即B＝时，sinA＋sinB的最大值为.故选C.答案：C二、填空题7．(2014·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于__________．解析：在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sinB＝1，因为B∈(0°，180°)，所以B＝90°，所以AB＝＝1.答案：18．(2014·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝__________.解析：由正弦定理＝得sinB＝＝，又B∈，所以B＝或.答案：或9．(2014·北京卷)在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝__________；sinA＝__________.解析：根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×＝4，故c＝2，因为cosC＝，于是sinC＝＝，于是，由正弦定理，sinA＝＝＝(或：由a＝1，b＝2，c＝2，得cosA＝＝，于是，sinA＝＝)．答案：2三、解答题10．(2014·新课标全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．解析：(1)由题设及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC.②由①，②得cosC＝，故C＝60°，BD＝.(2)四边形ABCD的面积S＝AB·DAsinA＋BC·CDsinC＝sin60°＝2.11．(2014·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝b，sinB＝sinC.(1)求cosA的值；(2)求cos的值．解析：(1)在△ABC中，由＝，及sinB＝sinC，可得b＝c.又由a－c＝b，有a＝2c.所以，cosA＝＝＝.(2)在△ABC中，由cosA＝，可得sinA＝.于是，cos2A＝2cos2A－1＝－，sin2A＝2sinA·cosA＝.2所以，cos＝cos2A·cos＋sin2A·sin＝.12．(2014·重庆卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝，求cosC的值；(2)若sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，且△ABC的面积S＝sinC，求a和b的值．解析：(1)由题意可知：c＝8－(a＋b)＝.由余弦定理得：cosC＝＝＝－.(2)由sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC可得：sinA·＋sinB·＝2sinC，化简得sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC.因为sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sinC，所以sinA＋sinB＝3sinC.由正弦定理可知：a＋b＝3c.又因a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.由于S＝absinC＝sinC，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.3
