贵州省望谟一中09-10学年高三数学《函数的概念与性质》专题训练班级姓名学号1.用函数单调性定义证明:(1)为常数)在上是增函数.(2)在上是减函数.2.函数在上是减函数,求的取值集合.3.下列函数是否具有奇偶性.(1);(2);(3);(4).4.已知函数.判断的奇偶性,并加以证明.5.若函数在上是奇函数,试确定的解析式.6.已知函数与的定义域都是,值域分别是与,在上是增函数而是减函数,求证:在上为减函数.7.给出下列函数:(1);(2);(3);(4);(5).其中不存在反函数的是__________________.8.求下列函数的反函数:(1);(2);(3).9.已知函数,求的值.10.已知函数与其反函数是同一个一次函数,试指出的所有取值可能.11.已知函数,,求的反函数.12.设定义域和值域都是的函数的反函数为,且对于任意都有,求证:对任意也成立.贵州省望谟一中09-10学年高三数学《函数的概念与性质》专题训练答案1.证明:(1)设是上的任意两个实数,且,则=由得,由得,.,,即.于是即.在上是增函数.(2)设是上的任意两个实数,且,则由得,由得.又,.于是即.在上是减函数.说明:由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关,与常数无关.若函数解析式是分式,通常变形时需要通分,将分子,分母都化成乘积的形式便于判断符号.2.解:当时,函数此时为,是常数函数,在上不具备增减性.当时,为一次函数,若在上是减函数,则有,解得.故所求的取值集合为.说明:此题虽比较简单,但渗透了对分类讨论的认识与使用.3.解:(1).是奇函数.(2).是偶函数.(3)由于定义域不关于原点对称,故既不是奇函数也不是偶函数.(1)的定义域为且,是关于原点对称的,且有和同时成立,故既是奇函数又是偶函数.4.解:为奇函数.下面给出证明.当时,;当时,综上为奇函数.说明:根据定义进行证明时,必须分别证明和时均有成立,二者缺一不可.5.解:在中,由得,由得,得,.说明:由奇函数的定义得到的制约条件时,应利用一般与特殊的思想让取某两个特殊值即可.这个想法是建立在对奇函数定义中恒等关系的理解.6.证明：设是上的任意两个实数,且,则是上的增函数,是上的减函数,且.,即,.又的值域为,的值域为,.即在上为减函数.说明：此题涉及抽象函数的有关证明,要求较高,此外在的变形中涉及到增减项的技巧,它也应是源于单调性只能比较同一个函数的某两个函数值,必须构造出与的差和与的差.7.解:(1),(2)都没有问题,对于(3)当时,和,且.对于(4)时,和.对于(5)当时,和.故(3),(4),(5)均不存在反函数.说明:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可.8.解:(1)由得,又得值域是..(2)由变形得.又得值域是,(3)由得;由得.又(的值域是,而的值域是,.说明:在求解方程时,一定要注意题目中对的限制条件的使用,分段函数存在反函数时,也应分段求解它的反函数,一般情况下,它的反函数仍然是个分段函数.9.解:令,解此方程得,再考虑到,故.说明:此题意在要求学生不仅能在定义中理解互为反函数的两个函数之间的关系,还能从符号角度认识它们之间的关系,也正是基于这种理解才找到了更为简捷的方法.(此法对于求反函数比较复杂的题目尤为适用)10.解：由知点在图象上,则点定在的图象上,于是(1)又过点,则点也在的图象上,于是(2)由(1)得或,当时,代入(2),此时(2)恒成立即;当代入(2)解得.综上,的所有取值可能有或.说明:此题是反函数概念与方程思想的综合.在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便,而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用,故对此种方法要引起重视.另外此题在最后作答时,要求写出的所有取值可能即要把的取值与的取值搭配在一起,所以解方程组时要特别小心这一点.11.解:令,则,,,.于是有.由得,由于,.又,的值域是,的反函数是.说明:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解,特别是在换元过程中,相应变量的取值范围也要随之发生改变,这一点是学生经常忽略的问题.12.证明:令,其中,那么.则有(1)由于对任意成立,.由于,则.故有,即.说明:使用抽象函数符号进行简单的证明,是提高研究函数性质理论层次的一种要求,对于较好的学生应适当做一些这样的题目.
