第四节二次函数与幂函数[考情展望]1.利用幂函数的图象和性质解决幂的大小比较和图象识别等问题.2.考查二次函数的解析式求法、图象特征及最值.3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系去分析和解决问题．一、二次函数1．二次函数的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．2．二次函数的性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域R值域单调性在减在增在减在增对称性函数的图象关于x＝－对称函数y＝f(x)对称轴的判断方法(1)对于函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝对称．(2)对于函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．二、幂函数1．定义：形如y＝xα(α∈R)的函数叫幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇/奇单调性增在(0，＋∞)上增在(－∞，0)上减增增在(0，＋∞)上减在(－∞，0)上减定点(1,1)1．当α≠0,1时，幂函数y＝xα在第一象限的图象特征(如图所示)：(1)α＞1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2；(2)0＜α＜1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝x；(3)α＜0，图象过点(1,1)，单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1，y＝x－.2．幂函数的图象一定不会经过第四象限．1．已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝x2B．f(x)＝x－2C．f(x)＝xD．f(x)＝x－【解析】设f(x)＝xα，则有3＝α，即3＝3－α，∴－α＝1，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2，故选B.【答案】B2．图2－4－1中C1，C2，C3为三个幂函数y＝xk在第一象限内的图象，则解析式中指数k的值依次可以是()图2－4－1A．－1，，3B．－1,3，C.，－1,3D.，3，－1【解析】根据幂函数的图象知，选A.【答案】A3．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上()A．先减后增B．先增后减C．单调递减D．单调递增【解析】 f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，∴2m＝0，∴m＝0.则f(x)＝－x2＋3在(－5，－3)上是增函数．【答案】D4．函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________．【解析】二次函数f(x)的对称轴是x＝1－a，由题意知1－a≥3，∴a≤－2.【答案】(－∞，－2]5．(2011·陕西高考)函数y＝x的图象是()【解析】已知函数解析式和图象，可以用取点验证的方法判断．【答案】B6．(2013·浙江高考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0,4a＋b＝0B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0D．a<0,2a＋b＝0【解析】因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0，故选A.【答案】A考向一[019]二次函数的图象与性质已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．【思路点拨】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系，结合图象或单调性直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间．【尝试解答】(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数，∴f(x)min＝f(2)＝－1，f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋3的对称轴为x＝－＝－a，∴要使f(x)在[－4,6]上为单调函数，只需－a≤－4或－a≥6，解得a≥4或a≤－6.(3)当a＝－1时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3＝其图象如图所示：又 x∈[－4,6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数．规律方法11.研究二次函数在闭区间上的最值问题，先“定性”作草图，再“定量”看图求解，事半功倍.2.求二次函数最值的类型及解法,1二次函数在闭区间上的最值主要有...
