专题一两边取对数一、问题的提出【2017课标1理11】设x、y、z为正数，且，则A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z该题解法中使用了两边取对数,这种方法是求解含有指数式的问题的一个常用方法,下面我们就来探讨这一方法在解题中的应用.二、问题的探源一般来说,已知,可通过取对数,转化为,通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算,这种运算法则的改变或能简化运算,或能改变运算式子的结构,从而有利于我们寻找解题思路,因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对数运算比指数运算来得方便,对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法.除了等式可通过两边取对数,有时两边含有指数式的不等式也可以取对数进行变形,但要注意不等号是否改变方向.两边取对数的方法,除在函数中有着广泛应用,在后面的数列、导数中都有广泛应用.三、问题的佐证【例1】【2014四川高考】已知，，，，则下列等式一定成立的是（）A、B、C、D、【解析】相除得，又，所以.选B.【例2】设2a＝5b＝m,且＋＝2,则m＝________．【解析】由2a＝5b＝m,得a＝log2m,b＝log5m,又＋＝2,即＋＝2,∴＝2,即m＝.【例3】设均为正数,且(≠),求lg()的取值范围.【解析】题中含有指数形式出现的式子,首先可以利用取对数的方法,把指数运算转化为对数运算,然后把lg()看作关于的函数,从而把求lg()的取值范围转化为求函数值域的问题.∵>0,>0,,两边取对数得：=0.即=(≠,lg≠-1).令lg=t,则=(t≠-1).∴lg()=lg+lg==,∵或,∴lg()的取值范围是【例4】已知数列中,则数列的通项公式四、问题的解决1.【2016高考四川】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年【答案】B【解析】设从2015年后第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，两边取常用对数得，故选B.2.【2017北京理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093【答案】D点睛：本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是时，两边取对数，对数运算公式包含，，.3.求形如的函数的导数,我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：,再两边同时求导得,于是得到：,运用此方法求得函数的一个单调递增区间是()A．B．C．D．【答案】C【解析】两边同取自然对数得：,再两边同时求导得,得,由得解得.4.【2014高考陕西】已知，，则________.【答案】【解析】由得，所以，解得，故答案为.【点晴】本题主要考查的是指数方程和对数方程，属于容易题；在解答时正确理解指数式和对数式的意义有助于正确完成此题.5.已知,则a,b的大小关系为.【答案】a=b【解析】由可得,所以.6.【2016高考浙江理数】已知a>b>1.若logab+logba=，ab=ba，则a=，b=.【答案】【解析】设，因为，因此7.【2014高考重庆理第12题】函数的最小值为_________.【答案】8.已知,且,则之间的关系式为.【答案】【解析】设,两边取对数得所以,所以.9.的定义域与值域均为,则实数a的取值范围是.【答案】【提示】由题意知01,,m,n是方程的两个不同实根,两边取对数,将问题转化为与直线有两个不交点,作出的图象如下图：由图象可得,所以.10.已知且.(1)比较与的大小；(2)求证：.【解析】设=,取对数得：∴,（1）,∴.（2）∵,,∴11.解关于的不等式【解析】（1）若,两边取以为底的对数得,即,∴,∴或.12.已知m,n为正整数,且,求证【解析】再根据在上是减函数证明.
