第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式[考情展望]1.利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简与求值.2.利用二倍角公式进行三角函数式的化简与求值.3.与三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质相结合，考查学生的综合能力．一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．六个公式：①sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；②cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；③tan(α±β)＝.2．公式T(α±β)的变形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；②tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．二、二倍角的正弦、余弦、正切公式1．三个公式：①sin2α＝2sin_αcos_α；②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan2α＝.2．公式S2α、C2α的变形：①sinαcosα＝sin2α；②sin2α＝(1－cos2α)；③cos2α＝(1＋cos2α)．1．sin34°sin26°－cos34°cos26°的值是()A.B.C．－D．－【解析】sin34°sin26°－cos34°cos26°＝－(cos34°cos26°－sin34°sin26°)＝－cos60°＝－.【答案】C2．下列各式中，值为的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°【解析】2sin15°cos15°＝sin30°＝，cos215°－sin215°＝cos30°＝，2sin215°－1＝－cos30°＝－，sin215°＋cos215°＝1.故选B.【答案】B3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝()A.B．－C.D．－【解析】tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－.【答案】D4．若cosα＝－，α是第三象限角，则sin＝()A．－B.C．－D.【解析】由题意知sinα＝－，∴sin＝sinαcos＋cosαsin＝－×＋×＝－.【答案】A5．(2013·江西高考)若sin＝，则cosα＝()A．－B．－C.D.【解析】cosα＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝.【答案】C6．(2013·四川高考)设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．【解析】由sin2α＝2sinαcosα及sin2α＝－sinα，α∈解出α，进而求得tan2α的值． sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα. α∈，sinα≠0，∴cosα＝－.又 α∈，∴α＝π，∴tan2α＝tanπ＝tan＝tan＝.【答案】考向一[060]三角函数的给值求值(1)(2014·郑州模拟)若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos＝()A.B．－C.D．－(2)(2013·广东高考)已知函数f(x)＝cos，x∈R.①求f的值；②若cosθ＝，θ∈，求f.【思路点拨】(2)①把x＝－代入函数解析式，借助特殊角的三角函数值和诱导公式求f.②由cosθ求出sinθ，利用两角和的余弦公式和二倍角公式求f.【尝试解答】(1) 0＜α＜，∴＜＋α＜π，所以由cos＝，得sin＝，又－＜β＜0，且cos＝，则＜－＜，∴sin＝，故cos＝cos＝coscos＋sinsin＝.【答案】C(2)①因为f(x)＝cos，所以f＝cos＝cos＝cos＝×＝1.②因为θ∈，cosθ＝，所以sinθ＝－＝－＝－，cos2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－，sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝－.所以f＝cos＝cos＝×＝cos2θ－sin2θ＝－－＝.规律方法1给值求值问题，解决的关键是把所求角用已知角表示.,1当已知角有两个时，所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式.2当已知角有一个时，此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系，然后应用诱导公式把所求角变成已知角.3注意根据角的象限确定三角函数值的符号.对点训练(1)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．(2)已知cos＋sinα＝，则sin＝________.【解析】(1) α为锐角且cos＝，∴sin＝.∴sin＝sin＝sin2cos－cos2sin＝sincos－＝××－＝－＝.(2)cos＋sinα＝cosαcos＋sinαsin＋sinα＝cosα＋sinα＝sin＝.∴sin＝，∴sin＝sin＝－sin＝－.【答案】(1)(2)－考向二[061]三角函数的给值求角已知0＜α＜＜β＜π，tan＝，cos(β－α)＝.(1)求sinα的值；(2)求β的值．【思路点拨】(1)tan――→tanα――→sinα.(2)cos(β－α)――→sin(β－α)――→sinβ――→β【尝试解答】(1)由tan＝，得tanα＝＝，∴cosα＝sinα，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①、②联立，得25sin2α＝16， 0＜α＜，∴sinα＝.(2)由(1)知，cosα＝，sinα＝，又0＜α＜＜β＜π，∴...
