专题六函数与方程中的等高线一、问题的提出【2015高考天津理8】已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是()（A）（B）（C）（D）设,借助地理中的名词,我们把称作函数的等高线,利用函数的等高线求解与交点横坐标有关的问题,也是高考的一个热点,求解这类问题一般要借助函数图象和函数性质,综合性较强,对解题能力要求较高,故此类问题难度较大,一般作为客观题压轴题出现.下面我们就来探讨这一类问题的解法.二、问题的探源首先给出上面一题的解法：由得，所以，即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.864224681510551015从上面的解法我们可以看出,解决此类问题一般要先画出函数的图象,再根据图像探讨函数的性质,然后利用函数性质进行求解,类型主要有以下3种：1.对称性求解等高线对应的交点横坐标之和.求解此类问题常用的一个结论是：若关于直线对称,则；2.对称性求解等高线对应的交点横坐标之积.求解此类问题常用的结论是：若直线与函数有两个不同交点,则,对任意等；3.求等高线对应的交点横坐标函数的范围.求解此类问题一般是把所给式子转化为关于某一交点横坐标的函数,再由图象确定该交点横坐标的范围,然后利用函数或不等式求范围.三、问题的佐证1.对称性求解等高线对应的交点横坐标之和【例1】已知函数,且对于任意实数关于的方程都有四个不相等的实根,则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【解析】根据函数图像可得,由于,因此,故应选C.【例2】【2014上海,理12】设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则.【答案】2.对称性求解等高线对应的交点横坐标之积；【例3】已知,是互不相同的正数,且,则的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】不妨设,由图像知,所以,选D.【例4】设函数,且关于的方程恰有个不同的实数根,则的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】首先画出函数的图像,如下图所示.由图可知,满足方程恰有个不同的实数根,且,其的取值范围为.由题意知,是的根,即,所以,,且,所以,故应选.3.求等高线对应的交点横坐标函数的范围.【例5】已知函数,若存在常数使得方程有两个不等的实根,（）,那么的取值范围为（）A．B．C．D．【点睛】本题是分段函数,因此分段求得函数的值域后,结合函数图象可得,结合求值式,,因此可变为一个二次函数,由二次函数知识可得范围．在解函数问题时,函数图象可帮助我们得出结论,得出解题方法,帮助我们寻找到解题思路．4.已知零点运用等高线求参数的范围.【例6】【2015高考湖南】若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】由函数有两个零点，可得有两个不等的根，从而可得函数函数的图象有两个交点，结合函数的图象可得，，故答案为：.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．【例7】【2014江苏】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是.【答案】【解析】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有．【点晴】研究函数性质时一般要借助于函数图像，体现了数形结合思想；方程解的问题常转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题来解决．图像的应用常见的命题角度有：(1)确定方程根的个数；(2)求参数的取值范围；(3)求不等式的解集.四、问题的解决1．已知,若、、互不相等,且,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不妨令,要满足,则有,．故选C.【评注】本题主要考查了函数的图象,三角函数的图象,对数函数的性质等知识点．本题的有两个关键点：一是关于对称,由此得到；二是值域满足,可得．由此可得．第二是本题的难点,本题也可结合函数的图象来研究．本题难度中等．2.已知函数,若函数恰有三个互不相同的零点,则的取值范围是（）A．B．C．D．【...
