解答题滚动练51
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD＝4，PA＝AB＝BC＝AD＝2，Q为棱PC上的一点，且PQ＝PC
(1)证明：平面QBD⊥平面ABCD；(2)求直线QD与平面PBC所成角的正弦值．方法一(1)证明连接AC与BD交于点O，连接QO，则由△ABO∽△CDO，得AO＝AC，由于PQ＝PC，则有QO∥PA，由PA⊥平面ABCD，有QO⊥平面ABCD，又QO⊂平面QBD，所以平面QBD⊥平面ABCD
(2)解过D作平面PBC的垂线，垂足为H，则∠DQH即为所求的线面角θ，设DH＝h，因为VQ－BCD＝VD－BCQ，即S△BCD·QO＝S△BCQ·h代入有×2×＝××h，解得h＝，又因为QD2＝QO2＋OD2，所以QD＝，所以sinθ＝＝
方法二(1)证明以A为原点，分别以射线AB，AP为x，z轴的正半轴，在平面ABCD内过A作AB的垂线，垂线所在射线为y轴，建立空间直角坐标系A－xyz，由题意知各点坐标如下：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(3，，0)，D(－1，，0)，P(0,0,2)，Q，因此BD＝(－3，，0)，DQ＝，设平面QBD的一个法向量为n1，平面ABCD的一个法向量为n2，则取n1＝(1，，0)，同理可取n2＝(0,0,1)，所以n1·n2＝0，所以平面QBD⊥平面ABCD(2)解设QD与平面PBC所成角为θ，DQ＝，PB＝(2,0，－2)，PC＝(3，，－2)，设平面PBC的一个法向量为n，则取n＝，所以sinθ＝|cos〈DQ，n〉|＝＝
所以QD与平面PBC所成角的正弦值为
2．已知函数f(x)＝(t＋1)lnx＋tx2＋3t，t∈R
(1)若t＝0，求证：当x≥0时，f(x＋1)≥x－x2；(2)若f(x)≥4x对任意x∈[1，＋∞)恒成立，求t的取值范围．(1)证明当t＝0时，f(x)＝lnx，f(
