解答题滚动练51.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，CD＝4，PA＝AB＝BC＝AD＝2，Q为棱PC上的一点，且PQ＝PC.(1)证明：平面QBD⊥平面ABCD；(2)求直线QD与平面PBC所成角的正弦值．方法一(1)证明连接AC与BD交于点O，连接QO，则由△ABO∽△CDO，得AO＝AC，由于PQ＝PC，则有QO∥PA，由PA⊥平面ABCD，有QO⊥平面ABCD，又QO⊂平面QBD，所以平面QBD⊥平面ABCD.(2)解过D作平面PBC的垂线，垂足为H，则∠DQH即为所求的线面角θ，设DH＝h，因为VQ－BCD＝VD－BCQ，即S△BCD·QO＝S△BCQ·h代入有×2×＝××h，解得h＝，又因为QD2＝QO2＋OD2，所以QD＝，所以sinθ＝＝.方法二(1)证明以A为原点，分别以射线AB，AP为x，z轴的正半轴，在平面ABCD内过A作AB的垂线，垂线所在射线为y轴，建立空间直角坐标系A－xyz，由题意知各点坐标如下：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(3，，0)，D(－1，，0)，P(0,0,2)，Q，因此BD＝(－3，，0)，DQ＝，设平面QBD的一个法向量为n1，平面ABCD的一个法向量为n2，则取n1＝(1，，0)，同理可取n2＝(0,0,1)，所以n1·n2＝0，所以平面QBD⊥平面ABCD(2)解设QD与平面PBC所成角为θ，DQ＝，PB＝(2,0，－2)，PC＝(3，，－2)，设平面PBC的一个法向量为n，则取n＝，所以sinθ＝|cos〈DQ，n〉|＝＝.所以QD与平面PBC所成角的正弦值为.2．已知函数f(x)＝(t＋1)lnx＋tx2＋3t，t∈R.(1)若t＝0，求证：当x≥0时，f(x＋1)≥x－x2；(2)若f(x)≥4x对任意x∈[1，＋∞)恒成立，求t的取值范围．(1)证明当t＝0时，f(x)＝lnx，f(x＋1)＝ln(x＋1)，即证ln(x＋1)≥x－x2.令g(x)＝ln(x＋1)＋x2－x(x≥0)，则g′(x)＝＋x－1＝>0，从而函数g(x)在x∈[0，＋∞)上单调递增，g(x)≥g(0)＝0，即当x≥0时，f(x＋1)≥x－x2.(2)解由(1)知，当x≥0时，ln(x＋1)≥x－x2，则当x≥1，即x－1≥0时，lnx＝ln[(x－1)＋1]≥(x－1)－(x－1)2＝－x2＋2x－.若t≤－1，则当x≥1时，(t＋1)lnx＋tx2＋3t<0<4x，原不等式不成立．若t>－1，则当x≥1时，f(x)－4x＝(t＋1)lnx＋tx2－4x＋3t≥(t＋1)＋tx2－4x＋3t＝(x2＋4x＋3)，从而当f(x)≥4x恒成立时，t≥1.综上，满足题意的t的取值范围为[1，＋∞)．3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，抛物线E：y2＝4x的焦点恰好是椭圆C的右焦点F.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F作两条斜率都存在的直线l1，l2，l1交椭圆C于点A，B，l2交椭圆C于点G，H，若|AF|是|AH|－|FH|与|AH|＋|FH|的等比中项，求|AF|·|FB|＋|GF|·|FH|的最小值．解(1)依题意得椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0)，即c＝1，又e＝＝，∴a＝2，b2＝3，故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)∵|AF|是|AH|－|FH|与|AH|＋|FH|的等比中项，∴|AF|2＝|AH|2－|FH|2，即|AF|2＋|FH|2＝|AH|2，∴直线l1⊥l2.又直线l1，l2的斜率均存在，∴两直线的斜率都不为零，故可设直线l1：x＝ky＋1(k≠0)，直线l2：x＝－y＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)．由消去x，得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0，∴同理得∴|AF|·|FB|＝·＝(1＋k2)|y1y2|，|GF|·|FH|＝·＝|y3y4|，∴|AF|·|FB|＋|GF|·|FH|＝(1＋k2)|y1y2|＋|y3y4|＝(1＋k2)·＋·＝9(1＋k2)·＝＝＝.又k2>0，∴k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取等号，所求式子取最小值.故|AF|·|FB|＋|GF|·|FH|的最小值为.4．在数列{an}中，已知a1＝，an＋1＝，其中n∈N*.(1)求a2的值，并证明：an>an＋1；(2)证明：an≤；(3)设Tn＝＋＋…＋，求证：Tn>n－.证明(1)由题意得an>0，a2＝＝＝.方法一＝＝≤1，所以an＋1≤an，当且仅当an＝1时取等号，又an≤a1＝，所以等号取不到．所以an＋1
1－成立；当n≥2时，n－Tn＝b1＋b2＋…＋bn<＋<，即Tn>n－.综上可知，Tn>n－.方法二由(1)知an≤，即3an≤1，所以an＋1＝≤＝，从而＝1－≤1－＝·，所以≤·n－1＝·n－1，所以＋＋…＋≤·＝·<，又n－Tn＝＋＋…＋，所以n－Tn<，所以Tn>n－.
