立体几何最值问题求解策略 学法指导 不分版本VIP免费

立体几何最值问题求解策略王中华王广敏最值问题一直是高中数学的重点和热点问题，当然，也是历年高考试题都要涉及的题目。在立体几何中，计算几何体的最值往往有两种方法：一是利用函数及重要不等式，二是利用化归转化思想将立体几何中的极值问题转化为平面几何中的极值问题。另外，解决几何体的相切、相接问题的关键是注意两个几何体之间的等量关系。本文举例说明立体几何中的最值问题的求解策略。一.利用三角函数求最值例1.已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面ABBAAAB11160是∠°的菱形，且平面ABB1A1⊥平面ABC，M是A1B1上的动点。试求使二面角A1—BM—C的平面角最小时的三棱锥M—A1CB的体积。分析：要使二面角A1—BM—C的平面角最小，必须先构建其平面角，如何构建？如图所示，取AB中点O，在MB上找一点P，因为CO垂直MB，剩下的问题只要使OP垂直于MB即可。这样MB就垂直于平面CPO，则∠OPC就是所求的平面角。在Rt△COP中就转化为求OP的最大值的问题，易发现此时点P即为点B，点M为线段A1B1的中点。解：取AB中点O，过O作OP⊥BM，垂足为P，连结CP。∵AB是平面A1B与平面ABC的交线，CO⊥AB，且平面A1B⊥平面ABC∴CO⊥平面A1BMBAB平面1，因此COMB而平面，OPCOPMBOP，∠OPC即为ABMC1的平面角。在Rt△COP中，tan∠OPCCOOPCO为定长，∠OPC为最小，即OP为最大。当且仅当P与B重合时，OP最大，此时M点为A1B1的中点，BM⊥AB。VVSCOMACBCAMBMB1111312··解后反思：本题是一道探索性题，确定动点M使所求二面角最小的位置是关键。在求体积的过程中运用了等积变形。二.利用均值定理求最值例2.在棱长为a的正方体OABC—OABC''''中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF。（1）求证：AFCE''⊥；（2）当三棱锥B’—BEF的体积取得最大值时，求二面角BEFB'的大小（结果用反三角函数表示）。（1）证明：连结OF、CE、A’O，如图所示。用心爱心专心115号编辑1∵AE=BF∴EB=CF又OC=CB，∠OCF=∠CBE因此，OCFCBEECBFOCOFCE，∠∠，又∵⊥平面，⊥∴⊥CCACCEOFCEOF''又∵EB⊥平面BC’，C’B⊥B’C∴C’E⊥B’C又因为A’O//B’C，所以C’E⊥A’O又∵，，AOOFOCEAOCEOF''''∴⊥平面CEAFO''而AFAFO''平面所以AFCE''⊥（2）解：设EB=y，BF=x，边长为a，则xya三棱锥BBEF'的体积Vxyaaxya166212423当且仅当xya2时等号成立因此，三棱锥BBEF'的体积取得最大值时BEBFa2过点B作BD⊥EF交EF于D，连结B’D，可得BDEF'⊥∴∠是二面角的平面角BDBBEFB''在Rt△BEF中，直角边BEBFa2，BD是斜边上的高，则BDa24，tan''∠BDBBBBD22。∴二面角BEFB'的大小为arctan22。解后反思：如果函数解析式符合基本不等式条件（或可以转化为基本不等式形式），可以用基本不等式定理（均值定理）求解。（均值定理的条件是“一正，二定，三相等”）三.利用二次函数求最值例3.如图所示，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNaa()02。（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小？用心爱心专心115号编辑2解：（1）作MP//AB交BC于点P，NQ//AB交BE于点Q连结PQ，依题意可得MP//NQ且MP=NQ，即MNQP是平行四边形如下图所示，则MN=PQ。由题意知，CMBNaCBABBE，1则ACBFCPaBQa21212，，即CPBQa2∴MNPQCPBQ122122221202222aaaa()（2）由（1）知，MNa22122所以，当a22时，MN22即M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为22用心爱心专心115号编辑3