第8节正弦定理和余弦定理及其应用考试要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；cosA＝；cosB＝；cosC＝2.S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA
ba≤b解的个数一解两解一解一解无解[常用结论与易错提醒]1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角时，有时出现一解、两解或无解的情况，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.()(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.()解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时不可求三边.(4)当b2＋c2－a2>0时，A为锐角，但B、C不一定为锐角，△ABC不一定为锐角三角形.答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2.在△ABC中，内角C为钝角，sinC＝，AC＝5，AB＝3，则BC＝()A.2B.3C.5D.10解析由题意知cosC＝－，设BC＝x，由余弦定理得(3)2＝52＋x2－2×5x·，化简得x2＋8x－20＝0，解得x1＝2，x2＝－10(舍去)，所以BC＝2，故选A.答案A3.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________.解析由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形4.(2019·九江一模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cos2A－cos2B＋sin2C＝sinBsinC＝，且△ABC的面积为，则a的值为________.解析△ABC中，由cos2A－cos2B＋sin2C＝sinBsinC＝，得1－sin2A－(1－sin2B)＋sin2C＝sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，∴b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cosA＝＝，又A∈(0，π)，∴A＝；由正弦定理＝＝，∴＝，即＝，化简得a2＝3bc；又△ABC的面积为S△ABC＝bcsinA＝，∴bc＝4，∴a2＝12，解得a＝2.答案25.(2019·杭州质检)设a，b，c分别为△ABC的三边长，若a＝3，b＝5，c＝7，则cosC＝________；△ABC的外接圆半径等于________.解析由题意得cosC＝＝＝－，则sinC＝＝，则△ABC的外接圆的半径等于＝.答案－6.(2020·绍兴适应性考试)已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若cosA＝，b＝c，且△ABC的面积是，则b＝________，sinC＝________.解析由cosA＝得sinA＝＝，则△ABC的面积为bcsinA＝b××＝，解得b＝，则c＝，由余弦定理得a＝＝＝c，所以sinA＝sinC＝.答案考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A.4B.C.D.2(2)(2020·杭州四中仿真)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，△ABC的面积为.且sinA＋sinC＝2sinB，则b的值为()A.4＋2B.4－2C.－1D.＋1(3)(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上.若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.解析(1)因为cosC＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A.(2)由题意得△ABC的面积为acsinB＝acsin30°＝，解得ac＝6，又由sinA＋sinC＝2sinB结合正弦定理得a＋c＝2b，则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2...
