立体几何基础知识、常用方法总结（学生版）一、空间的直线与平面1、平面：几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.(1)平面的表示方法：。(2)用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：A∈l表示；表示点A不在平面α内；表示直线l在平面α内；表示直线a不在平面α内；表示直线l与直线m相交于A点；α∩=A表示；α∩β=表示.2.平面的基本性质公理1.公理2.公理3.推论1.推论2.推论3.3.证题方法4.空间线面的位置关系平行—没有公共点共面(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外)相交—有且只有一个公共点相交—有一条公共直线(无数个公共点)(3)平面与平面平行—没有公共点5.异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.6.线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：.②.③④证题方法间接证法直接证法反证法同一法⑤(2)两直线垂直的判定①定义：.②③④⑤.⑥.(3)直线与平面平行的判定①定义：.②.③.④.⑤.⑥.⑦.⑧(4)直线与平面垂直的判定①定义：.②.③.④.⑤.⑥.(5)两平面平行的判定①定义：.②.③.④；⑤；(6)两平面垂直的判定①定义：；.②；③；(7)线、线关系和线、面关系的辨证法7.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.8.射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.9.空间中的各种角等角定理及其推论定理:；推论:.异面直线所成的角(1)定义：；(2)取值范围：.(3)求解方法：①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.10、直线和平面所成的角(1)定义；：注：一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)取值范围：(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.11、二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角；二面角的平面角θ的取值范围是(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法；(ii)垂面法；(iii)三垂线法；(Ⅳ)根据特殊图形的性质。(4)求二面角大小的常见方法①先找(或作)出二面...
