第三讲函数与方程及函数的应用高考对本部分的考查有：(1)①确定函数零点；②确定函数零点的个数；③根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围．(2)函数简单性质的综合考查．函数的实际应用问题．(3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查．利用函数性质解决相关的最值．题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图象和性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点、方程根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．一、零点存在性定理1、如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．2、在处理二次函数问题时，要注意f(x)的几种常见表达形式(1)y＝ax2＋bx＋c；(2)y＝a(x－x1)(x－x2)；(3)y＝a(x－h)2＋k.应根据题目的特点灵活选用上述表达式．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2101二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零点分布情况根的分布(m＜n＜p为常数)x1＜x2＜m图象满足的条件(两根都小于m)m＜x1＜x2(两根都大于m)3、应用函数模型解决实际问题的一般程序⇒⇒⇒二、与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系．2．二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，x∈[p，q]的最值问题实际上是研究函数在[p，q]上的单调性．常用方法：(1)注意是“轴动区间定”，还是“轴定区间动”，找出分类的标准；(2)利用导数知识，最值可以在端点和驻点处寻找．3．f(x)≥0在[p，q]上恒成立问题，等价于f(x)min≥0，x∈[p，q]．基础自测1．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A.B.C.D.【解析】显然f(x)＝ex＋4x－3的图象连续不间断，又f＝－1＞0，f＝－2＜0.∴由零点存在定理知，f(x)在内存在零点．【答案】C2．函数的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】在同一平面直角坐标系内作出与的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点．因此函数只有1个零点．【答案】B3．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，已知一个根在区间(1,2)内，则下一步可判定该根所在区间为________．【解析】令f(x)＝x3－2x－1，则f(1)＝1－2－1＝－2＜0，f(2)＝8－4－1＝3＞0.2f＝－3－1＝－＜0，由f·f(2)＜0知，下一步可判定该根在区间内．4.(2014·济南模拟)已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为()A．(1,3)B．(0,3)C．(0,2)D．(0,1)【解析】画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0＜a＜1，故选D.【答案】D5．(2013·陕西高考)在图2－9－1如图2－9－1所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．【解析】设矩形花园的宽为ym，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20m时，面积最大．【答案】20考点一函数零点的确定与应用例(1)(2012·天津高考)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3（2）(2009·山东)若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)因为f′(x)...
