函数021.如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得，则称此函数具有“性质”.（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由.（2）已知具有“性质”，且当时，，求在上的最大值.（3）设函数具有“性质”.且当时，，若与交点个数为2013个，求实数的值.【答案】解：（1）由得，根据诱导公式得．具有“性质”，其中．………………4分（2）具有“性质”，．设，则，……………………6分当时，在递增，时当时，在上递减，在上递增，且，时当时，在上递减，在上递增，且，时综上所述：当时，；当时，………………………………11分（3）具有“性质”，，，，从而得到是以2为周期的函数．又设，则，．再设（），当（），则，；当（），则，；对于，（），都有，而，，是周期为1的函数．①当时，要使得与有2013个交点，只要与在有2012个交点，而在有一个交点．过，从而得②当时，同理可得③当时，不合题意．综上所述…………………………18分2.某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上.该车的涉水安全要求是：水面不能超过它的底盘高度.如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑形成顶角为的等腰三角形，且，如果地面上有()高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计).(1)当轮胎与、同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为；(2)假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求)，求的最大值.(精确到1cm).【答案】解：(1)当轮胎与AB、BC同时接触时，设轮胎与AB边的切点为T，轮胎中心为O，则|OT|=40，由∠ABC=1200，知∠OBT=600，…………………..2分故|OB|=..…………………………………..4分所以，从B点到轮胎最上部的距离为+40………..6分此轮胎露在水面外的高度为d=+40-(+h)=，得证.…..8分(2)只要d40，………………………………………..12分即40，解得h16cm.，所以h的最大值为16cm.…14分3.（本题满分16分）和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“函数”.（1）若函数，，与互为“函数”,证明：.（2）若集合，函数，，判断函数与在上是否互为“函数”，并说明理由.（3）函数(，在集合上互为“函数”,求的取值范围及集合.【答案】（1）证明：函数与互为“函数“,则对于,恒成立.即在上恒成立………………2分化简得………………2分所以当时，，即…1分（2）假设函数与互为“函数”，则对于任意的恒成立.即，对于任意恒成立…2分.当时，.不妨取，则，所以………………2分所以假设不成立，在集合上，函数与不是互为“函数”………1分.（3）由题意得，（且）………2分变形得，，由于且，因为，所以，即………2分此时，集合………2分4.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4（尾/立方米）时，的值为（千克/年）；当时，是的一次函数；当达到（尾/立方米）时，因缺氧等原因，的值为（千克/年）．（1）当时，求函数的表达式；（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值．【答案】（1）由题意：当时，；…………………………2分当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得…………………………4分故函数=…………………………6分（2）依题意并由（1）可得……8分当时，为增函数，故；……………10分当时，，．……………………………12分所以，当时，的最大值为．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米．……………………………14分5.世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为的矩形健身场地，如图点M在上，点N在上，且P点在斜边上，已知且米，，.（1）试用表示，并求的取值范围；（2）设矩形健身场地每平方米的造价为，再把矩形以外...
