山东省济宁市高考数学专题复习 第15讲 导数的应用（二）练习 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

第十二节导数的应用(二)[考情展望]1.利用导数解决生活中的优化问题.2.导数与方程、函数零点、不等式等知识交汇命题，综合考查分析问题和解决问题的能力．考向一[041]导数在方程(函数零点)中的应用(2014·长沙模拟)已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【思路点拨】(1)先求切点、切线斜率，再求切线方程；(2)利用导数判断函数f(x)在[0，＋∞)上的变化情况，数形结合求解．【尝试解答】(1)由f(x)＝ex(x2＋ax－a)可得f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]．当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.(2)令f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]＝0，解得x＝－(a＋2)或x＝0.当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f(x)＝k在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根．当－(a＋2)＞0，即a＜－2时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x0(0，－(a＋2))－(a＋2)(－(a＋2)，＋∞)f′(x)0－0＋f(x)－a由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－(a＋2))＝.因为函数f(x)是(0，－(a＋2))上的减函数，是(－(a＋2)，＋∞)上的增函数，且当x≥－a时，有f(x)≥e－a(－a)＞－a，又f(0)＝－a.所以要使方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k的取值范围是.规律方法11.在解答本题(2)时应判断f(x)＞f(0)是否成立，这是容易忽视的地方．2．该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．对点训练(2014·威海模拟)设f(x)＝lnx＋.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)的零点个数．【解】(1)f(x)的定义域是(0，＋∞) f′(x)＝－＝当a≤0时，f′(x)＞0，(0，＋∞)是f(x)的增区间，当a＞0时，令f′(x)＝0，x＝±，(负舍去)当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0所以(0，)是f(x)的减区间，(，＋∞)是f(x)的增区间，综合：当a≤0时，f(x)的增区间是(0，＋∞)，当a＞0时，f(x)的减区间是(0，)，f(x)的增区间是(，＋∞)．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，当a＝0时有零点x＝1，当a＜0时，f(ea)＝a(e－2a＋1)＜0，f(e－a)＝a(e2a－1)＞0，(或当x→＋0时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞)，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，当a＞0时，由(1)f(x)在(0，)上是减函数，f(x)在(，＋∞)上是增函数，所以当x＝时，f(x)有极小值，即最小值f()＝(ln2a＋1)．当(ln2a＋1)＞0，即a＞时f(x)无零点，当(ln2a＋1)＝0，即a＝时，f(x)有一个零点，当(ln2a＋1)＜0，即0＜a＜时f(x)有2个零点．综上：当a＞时f(x)无零点，当a＝或a＝0时f(x)有一个零点，当0＜a＜时f(x)有2个零点．考向二[042]导数在不等式中的应用(2013·辽宁高考)已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x，g(x)＝ax＋＋1＋2xcosx．当x∈[0,1]时，(1)求证：1－x≤f(x)≤；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．【思路点拨】利用构造法，分别判断f(x)与1－x，f(x)与的大小关系；利用比较法或构造函数，通过导数求解未知数范围．【尝试解答】(1)证明：要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≥1－x，只需证明(1＋x)e－x≥(1－x)ex.记h(x)＝(1＋x)e－x－(1－x)ex，则h′(x)＝x(ex－e－x)，当x∈(0,1)时，h′(x)>0，因此h(x)在[0,1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0.所以f(x)≥1－x，x∈[0,1]．要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≤，只需证明ex≥x＋1.记K(x)＝ex－x－1，则K′(x)＝ex－1，当x∈(0,1)时，K′(x)>0，因此K(x)在[0,1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0.所以f(x)≤，x∈[0,1]．综上，1－x≤f(x)≤，x∈[0,1]．(2)法一：f(x)－g(x)＝(1＋x)e－2x－≥1－x－ax－1－－2xcosx＝－x，设G(x)＝＋2cosx，则G′(x)＝x－2sinx.记H(x)＝x－2sinx，则H′(x)＝1－2cosx，当x∈(0,1)时，H′(x)<0，于是G′(x)在[0,1]上是减函数，从而当x∈(0,1)时，G′(x)