第二章第10节利用导数研究函数的单调性[基础训练组]1．(导学号14577174)若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()A．2B．0C．－2D．－4解析：D[f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.故选D.]2．(导学号14577175)(2018·广州市一模)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为()A．(0,0)B．(1，－1)C．(－1,1)D．(1，－1)或(－1,1)解析：D[ f(x)＝x3＋ax2，∴f′(x)＝3x2＋2ax. 函数在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，∴3x＋2ax0＝－1. x0＋x＋ax＝0，解得x0＝±1.当x0＝1时，f(x0)＝－1；当x0＝－1时，f(x0)＝1.故选D.]3．(导学号14577176)设曲线y＝sinx上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图象可以为()解析：C[根据题意得g(x)＝cosx，∴y＝x2g(x)＝x2cosx为偶函数．又x＝0时，y＝0，故选C.]4．(导学号14577177)一质点做直线运动，由始点经过ts后的距离为s＝t3－6t2＋32t，则速度为0的时刻是()A．4s末B．8s末C．0s末与8s末D．4s末与8s末解析：D[s′＝t2－12t＋32，由导数的物理意义可知，速度为零的时刻就是s′＝0的时刻，解方程t2－12t＋32＝0，得t＝4或t＝8.故选D.]5．(导学号14577178)已知函数f(x)＝x3－2ax2－3x(a∈R)，若函数f(x)的图象上点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0，则m的值为()A．－B．－C.D.解析：A[ f(x)＝x3－2ax2－3x，∴f′(x)＝2x2－4ax－3，∴过点P(1，m)的切线斜率k＝f′(1)＝－1－4a.1又点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0，∴－1－4a＝3，∴a＝－1，∴f(x)＝x3＋2x2－3x.又点P在函数f(x)的图象上，∴m＝f(1)＝－.]6．(导学号14577179)(2018·太原市三模)曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是______________.解析：由f(x)＝xlnx，得f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，∴曲线f(x)＝xlnx在点P(1,0)处的切线方程为y＝x－1.如图，切线l与坐标轴围成的三角形为AOB，其外接圆的圆心为，半径为.∴三角形的外接圆方程是2＋2＝.答案：2＋2＝7．(导学号14577180)若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.解析：曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，即f′(x)＝0有正实数解．又 f′(x)＝5ax4＋，∴方程5ax4＋＝0有正实数解．∴5ax5＝－1有正实数解．∴a<0.故实数a的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)8．(导学号14577181)曲线y＝ln2x上任意一点P到直线y＝2x的距离的最小值是______.解析：如图，所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y＝2x两平行线间的距离，也即切点到直线y＝2x的距离．由y＝lnx，则y′＝＝2，得x＝，y＝ln＝0，即与直线y＝2x平行的曲线y＝ln2x的切线的切点坐标是，y＝ln2x上任意一点P到直线y＝2x的距离的最小值，即＝.答案：9．(导学号14577182)已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围．解：(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，∴斜率最小的切线过，2斜率k＝－1，∴切线方程为x＋y－＝0.(2)由(1)得k≥－1，∴tanα≥－1.又 α∈[0，π]，∴α∈∪.故α的取值范围为∪.10．(导学号14577183)已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．解：(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，∴所求的直线方程为y＝－2.(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，故其斜率可表示为＝，又＝3x－3，即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－，故所求直线的斜率为k＝3×＝－，∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.[能力提升组]11．(导学号14577184)(理科)(2018·丹东市、鞍山市、营口市一模)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是()A．y...
