第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式[考情展望]1.利用同角三角函数的基本关系求三角函数值.2.借助诱导公式化简三角函数式，进而求三角函数值．一、同角三角函数的基本关系1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1.2．商数关系：tanα＝(α≠＋kπ，k∈Z)．二、六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cosα－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α诱导公式记忆口诀对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．1．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sinα＝()A．－B.C.D．±【解析】 cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－，∴cosα＝，又α是第四象限角，∴sinα＜0，则sinα＝－＝－.【答案】A2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于()A．－B．－C.D.【解析】由sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)得－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝，又|θ|＜，∴θ＝，故选D.【答案】D3．sin585°的值为()A．－B.C．－D.【解析】sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－.【答案】A4．若cosα＝－且α∈，则tanα＝()A.B.C．－D．－【解析】 cosα＝－，且α∈，∴sinα＝－＝－＝－，∴tanα＝＝.【答案】B5．(2012·辽宁高考)已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则sin2α＝()A．－1B．－C.D．1【解析】因为sinα－cosα＝，所以1－2sinαcosα＝2，即sin2α＝－1.【答案】A6．(2013·广东高考)已知sin＝，那么cosα＝()A．－B．－C.D.【解析】sin＝cosα，故cosα＝，故选C.【答案】C考向一[050]同角三角函数关系式的应用(1)已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()A.B．－C．－2D．2(2)(2014·嘉兴模拟)已知α∈，tanα＝2，则cosα＝________.【思路点拨】(1)先根据已知条件求得tanα，再把所求式变为用tanα表示的式子求解；(2)切化弦，结合sin2α＋cos2α＝1求解．【尝试解答】(1)由＝5，得＝5，即tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝＝＝.(2)依题意得由此解得cos2α＝；又α∈(π，)，因此cosα＝－.【答案】(1)A(2)－规律方法11.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化.2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.对点训练(1)(2014·汕头模拟)若tanα＝2，则的值为()A．0B.C．1D.(2)若α∈，且sinα＝，则tanα＝________.【解析】(1) tanα＝2，∴＝＝＝.(2) α∈，sinα＝，∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝－.【答案】(1)B(2)－考向二[051]诱导公式的应用(1)sin600°＋tan240°的值等于()A．－B.C.－D.＋(2)若sin＝，则cos等于()A．－B．－C.D.(3)(2014·潍坊模拟)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝()A．－2B．2C．0D.【思路点拨】(1)直接利用诱导公式化简．(2)分析角“－α”与“＋α”间的关系．(3)先求tanθ的值，再对原式化简，代入求值便可．【尝试解答】(1)sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－＋＝.(2)cos＝cos＝sin＝.(3)由题意可知tanθ＝2.故＝＝＝＝2.【答案】(1)B(2)C(3)B规律方法21.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归.2.诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值.考向三[052]sinα±cosα与sinα·cosα的关系(2014·昌平模拟)已知－π＜x＜0，sinx＋cosx＝.(1)求sinx－cosx的值；(2)求的值．【思路点拨】(1)利用平方关系，设法沟通sinx－cosx与sinx＋cosx的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角x的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来．【尝试解答】(1)法一：由sinx＋cosx＝，平方得sin2x＋2...
