第8讲轨迹与方程1．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()A．x2＝2y－1B．x2＝2y－C．x2＝y－D．x2＝2y－22．已知椭圆的焦点为F1，F2，P是椭圆上一个动点，延长F1P到点Q，使|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线3．(2019年浙江杭州检测)已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线4．(2018年吉林长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝15．已知点A，若动直线x＝t(t>0且t≠)与曲线x4＝16y2交于B，C两点，则△ABC周长的最小值为()A．2B．4C．2－2D．26．(多选)下列说法正确的是()A．方程x2＋xy＝x表示两条直线B．椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝4C．曲线＋＝xy关于坐标原点对称D．双曲线－＝λ的渐近线方程为y＝±x7．(多选)在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则()A．曲线E经过坐标原点B．曲线E关于x轴对称C．曲线E关于y轴对称D．若点(x，y)在曲线E上，则－3≤x≤38．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足AC＝2CB，则动点C的轨迹方程为________________．9．已知A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2，P是AB的中点，则动点P的轨迹C的方程为____________．10．(2016年新课标Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．11．(2019年新课标Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．12．已知椭圆C：＋＝1的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点．(1)若直线l过点F1，且|AF2|＋|BF2|＝，求直线l的方程；(2)若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足OP⊥AB，求点P的轨迹方程．第8讲轨迹与方程1．A解析：把抛物线方程y＝x2化成标准形式x2＝4y，可得焦点F(0,1)，设P(x0，y0)，PF的中点M(x，y)．由中点坐标公式得∴又 P(x0，y0)在抛物线y＝x2上，∴2y－1＝(2x)2，即x2＝2y－1，故选A.2．A3．B解析：不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S， QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点． O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，∴|PO|＝|F2S|＝(|QS|－|QF2|)＝(|QF1|－|QF2|)＝a(定值)，∴点P的轨迹为圆．4．D解析： M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆，如图D190.图D190∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1，故选D.5．A解析：曲线x4＝16y2由x2＝4y和x2＝－4y组成，设直线x＝t(t>0且t≠)与x轴交于点D，与曲线x4＝16y2在第一象限交于B点，F(0,1)，根据对称性，得△ABC的周长为2(|AB|＋|BD|)＝2(|AB|＋|BF|－1)≥2(|AF|－1)＝2×(2－1)＝2.6．ACD7．BCD解析：设P(x，y)，由已知，|PF1||PF2|＝8，即×＝8，化简得(x2＋y2＋1)2－4x2＝64，原点(0,0)不满足方程，A错误；用(x，－y)换(x，y)，方程不变，∴曲线E关于x轴对称，B正确；同理用(－x，y)换(x，y)，方程不变，∴曲线E关于y轴对称，C正确；令y＝0，得(x＋1)2(x－1)2＝64，即x2－1＝8，所以x＝±3，故－3≤x≤3，D正确．故选BCD.8．x2＋＝1解析：设A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9.又C(x，y)，则由AC＝2CB，得(x－a，y)＝2(－x，b－y)．即即代入a2＋b2＝9，并整理，得x2＋＝1.9.＋y2＝1解析：设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． P是线段AB的中点，∴① A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的点，∴y1＝x1，y2＝－x2.代入①，得②又|AB|＝2，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12.∴12y...
